フーリエ変換の問題を解いていて
f(x)=1/2a(|x|<a) , 0(|x|>a)  をフーリエ変換したら sin(ax)/ax となったのですが、これを逆フーリエ変換したらf(x)になるはずですよね?
公式にあてはめて何度計算しても収束させることができず積分がうまくできないのですが、どうやればいいのでしょうか。。

A 回答 (3件)

#1,#2です。


フーリエ逆変換の記号の訂正です。

A#2の上から7行目
>={1/(2a)} L^(-1){1}|(x=x+a)
={1/(2a)} F^(-1){1}|(x=x+a) 
↑ F(ω)=1のフーリエ逆変換した「xの関数」のxを(x+a)に置換する
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この回答へのお礼

詳しく教えていただいてありがとうございました。
難しいですね・・・また何かあればよろしくお願いします。

お礼日時:2008/01/30 12:44

>{1/(4πai)}∫[-∞,+∞][ exp(i(a+x)ω)/ω - exp(-i(a-x)ω)/ω ]dω


=g1(x)+g2(x)=f(x)と置くと
g1(x)={1/(4πai)}∫[-∞,+∞][ exp(i(a+x)ω)/ω]dω
={1/(2a)}{1/(2π)}∫[-∞,+∞][ exp(i(a+x)ω)/(iω)]dω
g1'(x)={1/(2a)}{1/(2π)}∫[-∞,+∞][ exp(i(a+x)ω)]dω
={1/(2a)}{1/(2π)}∫[-∞,+∞] {exp(iaω)}{exp(ixω)]dω
={1/(2a)} L^(-1){1}|(x=x+a)
={1/(2a)}δ(x+a), δ(x)はディラックのデルタ関数(参考URL)。
g1(x)=∫{1/(2a)}δ(x+a)dx={1/(2a)}u(x+a)+C1
同様に
g2(x)={1/(4πai)}∫[-∞,+∞][ exp(i(-a+x)ω)/ω]dω
={1/(2a)}u(x-a)+C2
f(x)={1/(2a)}{u(x+a)-u(x-a)}+C (C=C1+C2)
f(-∞)=0とすれば、 C=0
∴f(x)={1/(2a)}{u(x+a)-u(x-a)},u(x)はユニットステップ関数。
これはもとのf(t)と同じです。

計算の仕方は、フーリエ変換の公式をよく調べてじっくり考えて
自分でお考え下さい。

参考URL:http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function
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>フーリエ変換したら sin(ax)/ax となったのですが、


となりませんね。
なぜフーリエ変換したのに,変換後の式にxが現れるのだろうね。
しっかりして下さい。
ちゃんとフーリエ変換すれば、逆変換もできるはず。

質問するには、質問者さんの解答の式変形や逆変換の定義式などを
ちゃんと書いて質問して下さい。

この回答への補足

すいません・・・関数がごっちゃになってました・・・

f(x)=1/2a(|x|<a) , 0(|x|>a)  をフーリエ変換したら
F(ω)=sin(aω)/((aω) でした。

それを逆変換の公式にあてはめると
1/2π{∫[-∞,+∞][ F(ω)*exp(iωx) ]dω}となると思うのですが
sin(aω)/(aω)*exp(iωx)の積分の仕方がわかりませんでした。

間違ってると思いますが、色々な方法で計算してみて、
sin(aω)を{exp(iaω)-exp(iaω)}/2i の形にしてまとめると
1/4πai{∫[-∞,+∞][ exp(i(a+x)ω)/ω - exp(-i(a-x)ω)/ω ]dω}
としてみましたが、積分ができませんでした・・・何か解き方があれば教えてください。

補足日時:2008/01/29 15:43
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F(ω)=∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx

とします。これをωで微分すると

dF/dω = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*(-ix)e^(-i*ω*x) dx

ここで d/dx(e^(-a*x^2)) = -2ax e^(-a*x^2)なので

dF/dω = (i/2a)∫[-∞≦x≦∞] d/dx(e^(-a*x^2))e^(-i*ω*x) dx

部分積分して

dF/dω = (i/2a){ [e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) ]_{-∞}^∞ - ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) d/dx(e^(-i*ω*x)) dx }

第1項めはe^(-a*x^2)のために±∞で0なので

dF/dω = (i/2a) {-∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) (-iω)e^(-i*ω*x) dx }
= -(ω/2a)∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) dx = -(ω/2a)F(ω)

これは簡単な微分方程式なのですぐに解けて

ln F(ω) = -(1/4a) ω^2 + C

F(ω) = A e^{-ω^2/4a} (A = e^C)

積分定数Aは、

F(0) = A = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) dx = √(π/a)

によって決まり、最終的に

F(ω) = √(π/a) e^{-ω^2/4a}

搦め手からの別解です

F(ω)=∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx

とします。これをωで微分すると

dF/dω = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*(-ix)e^(-i*ω*x) dx

ここで d/dx(e^(-a*x^2)) = -2ax e^(-a*x^2)なので

dF/dω = (i/2a)∫[-∞≦x≦∞] d/dx(e^(-a*x^2))e^(-i*ω*x) dx

部分積分して

dF/dω = (i/2a){ [e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) ]_{-∞}^∞ - ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) d/dx(e^(-i*ω*x)) dx }

第1項めはe^(-a*x^2)のために±∞で0なので

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#1のGotouikusaです。
すみませんやはりここでは無理のようです。
お手数ですが,必要ある場合下記URLをご覧になってください。
http://blog.goo.ne.jp/gotouikusa/e/d02c39eb4fdd9968dccc6256c43f54b0


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