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「係数が実数の4次方程式
x4乗+ax3乗+bx2乗+d=0…(1)が1+√(3)iを解に持つとする。
4つの異なる解を持ち、その絶対値がすべて等しく、かつ4つの解の和が1であるときの式(1)を求めよ」
という問題で、f(x)=(x2乗+2x+4)(x2乗+(a+2)x+(2a+b))まではわかるんですが、解答ではこのあと「条件より|1±√(3)i|=2」と書いてあるのですがなぜでしょうか?

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A 回答 (3件)

複素数の絶対値を知っていますか?


z = a + bi (a,bは実数、iは虚数単位)ならば
|z| = √(a^2 + b^2) です。

1+(√3)iを解に持つことと
4つの解の絶対値が全て等しい、ということから
残り3つ(実質的には2つ)の解の絶対値は全て2
ということですね。
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この回答へのお礼

複素数の絶対値である|z| = √(a^2 + b^2)がすっかり頭から抜けていたみたいです。助かりました!

お礼日時:2008/02/05 13:59

#2 です。



錯誤してましたね。
(1) 式は、
  x^4+ax^3+bx^2+cx+d = 0
じゃありませんか?(c≠0)

  (x^2-2x+4)(x^2+ex+f)
として、「4つの異なる解を持ち、その絶対値がすべて等しく、かつ4つの解の和が1である」
だけ考えればよかったのでした。
(x^2+ex+f) にて、
  e=1
  f=4
ということのようです。
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「係数が実数」なので、1-i√3 も解。


つまり、(1) の左辺は (x^2-2x+4) で割り切れ、その商を (x^2+ex+f) とすれば、
  e=a+2, 4=b, f=2e, 8e=d
が成立。

「4つの異なる解を持ち、その絶対値がすべて等しく、かつ4つの解の和が1」
(x^2+ex+f) = (x^2+ex+2e) の二つの零点が、絶対値 = 2 、和が-1 、ということ。

(途中省略)e=2 ですね。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2008/02/05 14:02

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