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力学のホロノミックシステムと非ホロノミックシステムに関する質問です。

分かってる事は
(1)非ホロノミックシステムは拘束条件が微分方程式で与えられる。
(2)ほとんどのシステムはホロノミックシステムである。
(3)非ホロノミックシステムは解くのが難しくラグランジュ法では解けない。
(4)非ホロノミックシステムの例は、タイヤの滑りがある車等。

質問は
1)用語「ホロノミック」の意味は何でしょうか?
2)(1)は有限要素法でいう自然境界条件にあたると思うのですが、この理解は正しいでしょうか?
3)両システムの特徴、解法の違い等。

お願いします。

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A 回答 (2件)

こんにちは。



http://www.iis.u-tokyo.ac.jp/~suzukitk/research- …
あたりを参考にされるとよいかと思います。

そこから質問の回答を導きだすと。
1)ホロノミックというのは、力学方程式における拘束条件が座標(と時間)によって表されるとき、ホロノミックと言います。
2)有限要素法の自然境界条件とまったく同じものであると言えます。
3)一般の力学方程式は、ホロノミックで表されますが、そこに何らかの入力が与えられる力学系を「非ホロノミック」と言います。

3についてもう少し具体的にしてみましょう。ピッチングマシーンからボールが投げ出された時の運動は、ホロノミックです。なぜならば、初期条件で定められた力学エネルギーによって、ボールの質量から、次の位置を推定することが出来ます。
しかしながら、これをあまりバッティング練習をしていないバッターが打つとすれば、そのボールの軌道は全然分からないところへ行く訳です。練習しているバッターが打てば、この場合には正確にある特定の位置に到達します。

つまり、このしかしながらの所がバッターとピッチングマシーンにおける力学系として考えた時に、ピッチングマシーンからキャッチャーまでがホロノミックな力学系になるわけです。そして、そこにバッターが入って打撃練習を行うことによって、ボールを打ち返す時に非ホロノミックな力学系になるのです。

では。
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この回答へのお礼

1)2)に関してはよくわかりました。ありがとうございまいた。

私の理解範囲では、非ホロノミックシステムは自然境界条件が拘束条件として与えられる為、系の自由度(3次元では6)を単純に減らせない系で通常の解法は適用出来ないという程度の理解でした。提示頂いたWebsite例も、詳細理解できませんでしたが自由度に関するものであると感じました。

3)に関しては新しい見解を頂きました。
指摘頂いた「入力が入る系は非ホロノミック」という点です。バッターの例でも確かに打撃は入力となると思います。では天井につるされたバネと質量で、入力がある場合(例えばFsinωt)
mg-kx+Fsinωt=ma
等は非ホロノミックシステムになるのでしょうか?

お礼日時:2008/02/05 20:39

インターネットの辞書で調べると、


Holo = 全
Nomic = 在来の
のようです。
とすると、
Holonomic = 従来通りの、とか、普通の、でしょうか?
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この回答へのお礼

意味的に理解できます。
ホロノミックは大半のシステムが含まれますので、従来から扱ってきた問題はホロノミックであるという事と思います。逆に、従来から扱えない問題は非ホロノミックかと。

ありがとうございました。

お礼日時:2008/02/05 20:09

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Q行列の正定・半正定・負定

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか?
過去の質問の回答に

>cを列ベクトル、Aを行列とする。
>(cの転置)Ac>0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか?
また、半正定は固有値に+と-が交じっていて、
負定は固有値が-のみなのですか?

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む

Q線形・非線形って何ですか?

既に同じようなテーマで質問が出ておりますが、
再度お聞きしたく質問します。

※既に出ている質問
『質問:線形、非線型ってどういう意味ですか?』
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=285400
結局これを読んでもいまいちピンと来なかった...(--;


1.線形と非線形について教えてください。
2.何の為にそのような考え方(分け方)をするのか教えてください。


勝手なお願いですが、以下の点に留意いただけると大変うれしいです。
何せ数学はそんなに得意ではない人間+歳なので...(~~;

・わかりやすく教えてください。(小学生に説明するつもりぐらいだとありがたいです)
・例をあげてください。(こちらも小学生でもわかるような例をいただけると助かります)
・数式はなるべく少なくしてください。

『そんな条件じゃ説明できないよー』という方もいると思いますが、どうぞよろしくお願いいたしますm(__)m

Aベストアンサー

昨日「線形の方がなんとなくてわかりやすくないですか」と書いたんですが、やっぱり理系の人間らしく、もうちょっときちんと説明してみます。昨日は数式をなるべく出さないように説明しようとがんばったんですが、今日は少しだけ出しますが、勘弁してください。m(__)m(あと、長文も勘弁してください)


数学的にはちょっとここまで言えるかわかりませんが、自然界の法則としては、「線形」が重要な意味を持つのは、xの値が変化するにつれて変化するyがあったときに、

(yの増加量)/(xの増加量)=A(一定)

という規則が成り立つからです。

xやyの例としては昨日の例で言う例1だとxがガムの個数、yが全体の金額、例2だとxが時間、yが走った距離です。

この規則が何で役に立つかというと、式をちょっと変形すると、

(yの増加量)=A×(xの増加量)・・(1)

ということがわかります。つまり、Aの値さえわかれば、xが増えたときのyの値が容易に推測できるようになるわけです。


ここで「Aの値さえわかれば」と書いていますが、この意味を今から説明します。

自然界の法則を調べるためには何らかの実験を行います。例えば、りんごが木から落ちる運動の測定を行います。
ここから質問者様がイメージできるかわかりませんが、りんごは時間が経つにつれて(下に落ちるにつれて)落下するスピードが速くなるんです。今、実験として、1秒ごとにりんごのスピードを測定したとします。そしてその結果をグラフにプロットしていくと、直線になることがわかります。(ここがわかりにくいかもしれませんが、実際に実験を行うとそのようになるのです)

数学の問題のように初めから「時速100kmで走る」とか「1個100円のガム」とかいうことが与えられていれば直線になることはすぐにわかります。
しかし、自然界の法則はそうもうまくいきません。つまり、実験を行ってその結果をプロットした結果が直線状になっていたときに初めて「何らかの法則があるのではないか」ということがわかり、上で書いた「Aの値さえわかれば」の「A」の値がプロットが直線状になった結果、初めてわかるのです。

そして、プロットが直線状になっているということは、永遠にそうなることが予想されます。つまり、今現在はりんごが木から落ちたときしか実験できませんが、その結果を用いて、もしりんごが雲の上から落としたときに地面ではどのくらいのスピードになるかが推測できるようになるわけです。ここで、このことがなぜ推測できるようになるかというと、(1)で書いた関係式があるからです。このように「なんらかの法則があることが推測でき、それを用いて別の事象が予言できるようになる」ことが「線形」が重要だと考えられる理由です。

しかし、実際に飛行機に乗って雲の上からりんごを落としたらここで推測した値にはならないのです。スカイダイビングを想像するとわかると思いますが、最初はどんどんスピードが上がっていきますが、ある程度でスピードは変わらなくなります。(ずっとスピードが増え続けたら、たぶんあんなに空中で動く余裕はないでしょうか??)つまり、「線形から外れる」のです。

では、なぜスピードが変わらなくなるかというと、お分かりになると思いますが、空気抵抗があるからなんですね。(これが昨日「世の中そううまくはいかない」と書いた理由です)つまり、初めは「線形」かと思われたりんごを落とすという実験は実際には「非線形」なんです。非線形のときは(1)の関係式が成り立たないので、線形のときほど容易には現象の予測ができないことがわかると思います。


では、非線形だと、全てのことにおいて現象の予測が難しいのでしょうか?実はそうでもありません。例えば、logは非線形だということをNo.5さんが書かれていますが、「片対数グラフ」というちょっと特殊な形のグラフを用いるとlogや指数関数のグラフも直線になるんです。つまり、普通のグラフでプロットしたときに「非線形」になるため一見何の法則もないように見えがちな実験結果が「片対数グラフ」を用いると、プロット結果が「線形」になってlogや指数関数の性質を持つことが容易にわかり、それを用いて現象の予測を行うことが(もちろん単なる線形よりは難しいですが)できるようになるわけです。


これが私の「線形」「非線形」の理解です。つまり、

1) 線形の結果の場合は同様の他の事象の推測が容易
2) 非線形の場合は同様の他の事象の推測が困難
3) しかし、一見非線形に見えるものも特殊な見方をすると線形になることがあり、その場合は事象の推測が容易である

このことからいろいろな実験結果は「なるべく線形にならないか」ということを目標に頑張ります。しかし、実際には先ほどの空気抵抗の例のように、どうしても線形にはならない事象の方が世の中多いんです。(つまり、非線形のものが多いんです)

わかりやすいかどうかよくわかりませんが、これが「線形」「非線形」を分ける理由だと思っています。

やっぱり、「線形の方がなんとなくわかりやすい」くらいの理解の方がよかったですかね(^^;;

昨日「線形の方がなんとなくてわかりやすくないですか」と書いたんですが、やっぱり理系の人間らしく、もうちょっときちんと説明してみます。昨日は数式をなるべく出さないように説明しようとがんばったんですが、今日は少しだけ出しますが、勘弁してください。m(__)m(あと、長文も勘弁してください)


数学的にはちょっとここまで言えるかわかりませんが、自然界の法則としては、「線形」が重要な意味を持つのは、xの値が変化するにつれて変化するyがあったときに、

(yの増加量)/(xの増加量)=...続きを読む

Q粘性摩擦とクーロン摩擦の違い

粘性摩擦とクーロン摩擦を分けて書かれているものをいくつかみつけましたがこの二つを分けて考える理由が分かりません。
粘性摩擦=動摩擦であっているでしょうか?
クーロン摩擦とはどういうものなのでしょうか?
助力をお願いします。

Aベストアンサー

粘性摩擦とは粘性係数ηを含み時間依存性の摩擦。例えばゆっくり引っ張った場合と、急に引っ張った場合では摩擦力が後者が大きい。

クーロン摩擦は時間独立の摩擦。ゆっくりでも急でも同じ。

QDCモータのトルク制御とは?

DCモータの回転数を制御する場合、モータに印加する電圧の大きさを調整しますよね。

DCモータのトルクを制御する場合は、何を調整しているのでしょうか?
もちろん、トルクの大きさを変えるということは電流の大きさを変えるということだと思いますが、電流の大きさはどうやって変えるのでしょうか?電流の大きさというのは、モータに掛かる負荷によって決定されてしまうのではないのでしょうか?

一定の負荷が掛かる負荷器にDCモータを繋いでトルク(電流値)を制御する場合、その電流の大きさはどのようにして調整されるのでしょうか?

Aベストアンサー

電圧を上げる=電流を増やすです。
直流モーターは停止時最大の電流が流れ、トルクも最大です、(余ったトルクは回転数に変換され回転数上昇とともに電流も減少します、少々荒っぽい説明)。
同じ電圧なら、負荷が大きければ、回転数が上がらず、その分多くの電流が流れます。
一定の負荷なら、電圧下げれば、電流も下がります、電圧そのままでなら、抵抗で電流制限できます(抵抗による電力の損失があります)、最近は抵抗ではなくチョッパ回路で電力そのものをコントロールするものが大半?。
無負荷で低回転、大トルクという動きはしません、低回転で大トルクは大負荷の時です。
ガソリンエンジン等を車に使う時は変速機が必要ですが、電気モーターを使用すれば、トルクコンバーターのオートマ以上に広い範囲をモーターのみでカバー可能です。
電圧=抵抗×電流
なので、抵抗も電流もそのままで電圧だけ変える(変わる)ことはありません、抵抗(負荷)は一定の場合が多いかと・・、なら電圧変えれば、勝手に電流が変わります。

Q行列 線形代数 "diag"って何ですか?

ロボット制御のなかで,おそらく行列だと思うんですが,“diag”という記号が出てきました.何の事か分からないのでどなたか教えてください.

Aベストアンサー

diagは対角行列を出力する関数です。
例えば、diag(1,2,3)なら(1,1)成分は1、(2,2)成分は2、(3,3)成分は3で他は0の行列になります。

Q第一章→第一節・・・その次は?

よく目次で
第一章○○○
 第一節△△△
 第二節□□□
第二章◇◇◇~
とありますよね?その第一節をさらに分けたい場合、第一何となるのでしょうか。
ご存知の方よろしくお願いします。

Aベストアンサー

たまたま手元に「公用文作成の手引き」という冊子があります。
役所で使用する文書規定の本です。

これによると、章、節、項までは皆さんのおっしゃる通り。

さらに、「項目を細別する見出し符号は以下による。」とあります。

第一章 第二章・・・
 第一節 第二節・・・
  第一項 第二項・・・
   第1 第2
    1 2 3
     (1) (2) (3)
      ア イ ウ
       (ア) (イ) (ウ)
        A B C
         (A) (B) (C)
          a b c
          (a) (b) (c)

注1:「第1」を省略して「1」からはじめても良い。
注2:「イ」「ロ」「ハ」「ニ」は用いない。


以上のように書いてありました。
しかし、何にせよ法律で決まっているわけでもないし、通常は
自分の好みで選択して、問題ないと思います。

Q組み込み系と制御系の違いは?

SE/PGの求人で、組み込み系、制御系を見ますが、
組み込みとは、家電製品などに組み込み、使用者が家電製品を使うときに操作したとおりに動くようにプログラムをつくるエンジニアのことでしょうか?

制御系はどういたことなんでしょうか?
制御とついているので制御するのだと思うのですが、使われる箇所としてはどういった所に使われるのでしょうか?

さっきの組み込み系でも、家電製品に”組み込ん”でも、”制御”もされているのではないでしょうか?
例えば、電子ジャーに”組み込ん”でも、温度調節なども”制御”しているのではないでしょうか?

組み込みと制御は同じような事なのでしょうか?

Aベストアンサー

○○系という言葉自体が広い概念ですので、たしかに重複する意味もありますが。
元々、系列化するものに対して○○系として区別していました。
対象が同じものであっても言い方で混乱しますね。
結論を簡単に言えば、表現の方法の違いなのですが、
1)主機能面から言えば、○○制御系
  (背景には、複雑・多様化、ネットワーク化、ユビキタス、インフラなどの課題が多い)
2)機器内部にコンピュータシステムを組み込むための技術力、対応力を強調させる場合は、組み込み系。(背景には、小型化、省電力、高速化などの課題が多い)

で、SE/PG求人ということなので、「ソフトウェア開発」に絞られます。
一般には、制御系システムの方が範囲が広く、以下のように使われるケースがあります。
「...制御系のシステム(計測・制御用ソフト、組み込み用ソフト、FA用ソフト)の開発経験者を求む....」

一般的には、
組み込み系システムとは、
 昨今の家電・電子機器・自動車(etc.)には、機器を制御するためのマイコン用ソフト・ハードが組み込まれて内蔵されている。その機器内部のコンピュータシステムを指す。組み込み系ソフトとは、機器内部のコンピュータシステムを稼動させるソフトウェアで、組み込み系システム用に開発されたソフトウェアのこと。組み込み系に対しては、PC系・UNIX系と言ったりする。機器の外部にコンピュータを接続する形式が「非組み込み系」と考えてよい。システムの構築の際、形態・方法を指す言葉。したがって、電子ジャーは、組み込み系システムであるとは言えます。

一方、制御系システムとは、広義には、機器を「制御する」システムを対象とする。狭義には、特に制御が主機能になっているものを指す。ここでの「制御系」の概念は、「組み込み系」であっても「非組み込み系」であっても構わない。すなわち、システム構築の目的や用途(機能)を強く意識した言葉。したがって、電子ジャー(炊飯)などの特定の狭い用途で主機能ではない場合には、使いません。自動車のカーナビ(位置特定)なども。敢えて「制御」を使うならば、電子ジャーの温度制御ソフトのように使われる。


制御系の実例的には
主な制御系         具体的システム例       ソフトの対象例
監視・制御系        中央監視盤、照明制御システム 制御端末用ソフト
FA系           製造ライン監視制御システム  PLC用ソフト
プロセス制御系       製鉄プラントシステム
通信・制御系        移動体通信制御システム    携帯電話、基地局
計測・制御系        排ガス濃度監視装置      濃度計測、ロギング
組み込み・制御系      DVDプレーヤシステム     モーター回転数制御
「DVDプレーヤ」では、単に「制御系」とは普通言わない。
「組み込み・制御系」もしくは単に「組み込み系」。

納得がいかないなら、「制御系」などで検索し、
ターゲットの実例を調べてください。

参考にされば、幸いです。

○○系という言葉自体が広い概念ですので、たしかに重複する意味もありますが。
元々、系列化するものに対して○○系として区別していました。
対象が同じものであっても言い方で混乱しますね。
結論を簡単に言えば、表現の方法の違いなのですが、
1)主機能面から言えば、○○制御系
  (背景には、複雑・多様化、ネットワーク化、ユビキタス、インフラなどの課題が多い)
2)機器内部にコンピュータシステムを組み込むための技術力、対応力を強調させる場合は、組み込み系。(背景には、小型化、省電力、高...続きを読む

Qフィードフォワード制御と予測制御の違い

フィードフォワード制御と予測制御の違いについて教えて下さい。
液体供給設備についての説明で、「時間経過とともに温度が低下する傾向を予測し(フィードフォワード)、ヒータで加熱する制御を行う…」という文章があるのですが、これを書いた当人は「フィードフォワード制御ではない。予測制御だ。」と言い張ります。
面会した時に確認すればよかったのですが聞き逃し、また当人とは諸事情により現在連絡がとれません。
不勉強なためどのような資料で調べればよいかもわからず困っております。
どうぞよろしくお願い致します。

Aベストアンサー

フィードフォワード制御と予測制御は全然別物です。
例えば、ヒータを使った温度制御であれば、

・フィードバック制御
制御対象の温度を計測し、目標温度との違いを元に、ヒータの加熱量を決定する方法。
「計測している温度」自体が「それまでの制御の結果」ですから、
制御の結果をまた制御に戻すため「フィードバック」と呼びます。
「対象温度が下がってきたので加熱を強くする」といった感じで、一歩出遅れるため、反応が遅くなります。

・フィードフォワード制御
外気温など「制御の結果とは無関係な情報」を元に、ヒータの加熱量を決めます。
「対象温度は下がってないけど、外気温が下がってきたので加熱を強くする」といった感じで、先回りして操作するので、反応が速くできます。
その代わり、制御が難しい

・予想制御
これはフィードバックやフィードフォワードとは別の概念です。
フィードバック制御でもフィードフォワード制御でも、
計測した情報を元に制御を決定するわけですが、
その時、現状だけなく将来的な傾向まで「予測」するかどうかの話。

たとえば、外気温がどんどん下がってきた結果の状況なら、今後も下がると予測してあらかじめ加熱を増やすとか、
同じ外気温でも、外気温が上がってきた結果なら、今後も上がると予測して加熱量は減らすとか。

フィードフォワードの方が(自身の制御を加えていない生の情報が得られるため)予測制御しやすいですが、
フィードバックでも予測制御できないわけではありません。

フィードフォワード制御と予測制御は全然別物です。
例えば、ヒータを使った温度制御であれば、

・フィードバック制御
制御対象の温度を計測し、目標温度との違いを元に、ヒータの加熱量を決定する方法。
「計測している温度」自体が「それまでの制御の結果」ですから、
制御の結果をまた制御に戻すため「フィードバック」と呼びます。
「対象温度が下がってきたので加熱を強くする」といった感じで、一歩出遅れるため、反応が遅くなります。

・フィードフォワード制御
外気温など「制御の結果とは無...続きを読む

Qモーターのトルクと回転数

なぜモーターのトルクと回転数は反比例の関係になるのですか?

Aベストアンサー

質問中には書かれていませんが、モーターの出力が一定のもとで
ということが必須の条件です。

モータ理論の基礎中の基礎で 出力(W)=角速度×トルク
すなわち
P=ωτ  但しP:出力 ω:角速度(2π×回転数/60) τ:トルク

出力が一定であればモータ速度とトルクは相反関係にあります。
尚通常のモータにおいては、出力が一定ということはまずありませんので
負荷トルクの変動に比例して出力(=一般てきには入力電流)が変動
します。

Q角加速度とトルクと慣性モーメントの関係

トルクを慣性モーメントで割ると角加速度が出ると思うのですが
どうして出るのでしょうか?
トルク:N
角加速度:α
慣性モーメント:I
式はN=α・I
単位だけで見ると
N・m = rad/s^2 × kg・m^2
で一見関係が無いように見えますが・・・
感覚的に、軽くて小さなものと重くて平べったいものを同じスピード(加速度)で回すときは
後者の方がかなり力がいるのはわかるのですが・・・
式から関係性が見えません・・・
どなたかご存知の方、詳しい方、ご教示いただけますでしょうか?

Aベストアンサー

単位だけに注目します。

1Nは1kgの質量の物体を1m/s^2で加速させる力の大きさです。
つまり
1N=1kg・m/s^2

つまりトルクの単位は
N・m=kg・m/s^2・m=kg・m^2/s^2
となります。

慣性モーメントと角加速度の積は
kg・m^2・rad/s^2
となりますが、角度の単位radは無次元量(長さを長さでわったものだから)ですので無視できます。つまりこの積は
kg・m^2/s^2
とあらわせることになり、これはトルクの単位と等しいことがわかります。


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