円に内接する正(n+1)角形の面積は、正n角形の面積よりも大きい

円に内接する正(n+1)角形の面積は、正n角形の面積よりも大きい

このことを解析的な視点と、幾何的な視点から証明したいのですが、どうにも分かりません。
なにかアイデアがありましたらいただけないでしょうか。

No.3 ベストアンサー 回答者： zk43 回答日時： 2008/02/08 01:02

正n角形の各頂点と円の中心を結んで、n個の三角形を作る。

すると、正n角形の面積は1/2×正n角形の周の長さ×三角形の高さ
になる。（三角形の高さは、円の中心から対辺への高さ）
正n角形の周の長さ、三角形の高さはnが増えると増加するので、
角数が大きくなると面積も増加する、という感じ。
実際、周の長さ＝2n*sin(π/n)＝2πsin(π/n)/(π/n)で、sinx/xは
x→+0のとき増加、三角形の高さはcos(π/n)で、cosxはx→+0のとき
増加する。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

周の長さ＝2n*sin(π/n)＝2πsin(π/n)/(π/n)

はnに関して単調増加、を示せばいいことは分かるのですが、
sinx/xにおいて微分を用いるところが、もしかして循環論法にもなる可能性があるので、
なんとか微分を使わないで示すことができないでしょうか?

お礼日時：2008/02/08 13:27

No.4 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/02/14 20:58

>微分を用いると、もしかして循環論法にもなる可能性があるので、

どのように循環しているのか補足にどうぞ。

No.2 回答者： eringui 回答日時： 2008/02/08 00:12

半径rの円に内接する正n角形の面積をS(n)とすれば、

S(n)=1/2*nr^2sin(2π/n)
となります。

このときS(n)<S(n+1)が言えればいいわけですが、そのためにS(n+1)/S(n)の値を考えます。
S(n+1)/S(n)=[(n+1)sin{2π/(n+1)}]/{nsin(2π/n)}
ですが、ここでf(x)=sinx/xとすれば、
S(n+1)/S(n)=f(1/(n+1))/f(1/n)
と書けます。
f(x)は少なくとも0≦x≦π/6の範囲では単調減少するので、（調べてみてください）
f(1/(n+1))>f(1/n)がいえます。
ゆえにS(n+1)>S(n)もいえます。(証明終)

高校数学の知識で解いてみました。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
S(n+1)>S(n)を示せばいいことは分かるのですが、
微分を用いるところが、もしかして循環論法にもなる可能性があるので、
なんとか微分を使わないで示すことができないでしょうか?

お礼日時：2008/02/08 13:25

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/02/07 23:55

解析的な方法の方が易しそうだから、そっちからどうぞ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
別の方のご返答にも書いておきましたが、
微分を用いると、もしかして循環論法にもなる可能性があるので、
なんとか微分を使わないで示すことができないでしょうか?

お礼日時：2008/02/08 13:28