No.3ベストアンサー
- 回答日時:
正n角形の各頂点と円の中心を結んで、n個の三角形を作る。
すると、正n角形の面積は1/2×正n角形の周の長さ×三角形の高さ
になる。(三角形の高さは、円の中心から対辺への高さ)
正n角形の周の長さ、三角形の高さはnが増えると増加するので、
角数が大きくなると面積も増加する、という感じ。
実際、周の長さ=2n*sin(π/n)=2πsin(π/n)/(π/n)で、sinx/xは
x→+0のとき増加、三角形の高さはcos(π/n)で、cosxはx→+0のとき
増加する。
ありがとうございます。
周の長さ=2n*sin(π/n)=2πsin(π/n)/(π/n)
はnに関して単調増加、を示せばいいことは分かるのですが、
sinx/xにおいて微分を用いるところが、もしかして循環論法にもなる可能性があるので、
なんとか微分を使わないで示すことができないでしょうか?
No.2
- 回答日時:
半径rの円に内接する正n角形の面積をS(n)とすれば、
S(n)=1/2*nr^2sin(2π/n)
となります。
このときS(n)<S(n+1)が言えればいいわけですが、そのためにS(n+1)/S(n)の値を考えます。
S(n+1)/S(n)=[(n+1)sin{2π/(n+1)}]/{nsin(2π/n)}
ですが、ここでf(x)=sinx/xとすれば、
S(n+1)/S(n)=f(1/(n+1))/f(1/n)
と書けます。
f(x)は少なくとも0≦x≦π/6の範囲では単調減少するので、(調べてみてください)
f(1/(n+1))>f(1/n)がいえます。
ゆえにS(n+1)>S(n)もいえます。(証明終)
高校数学の知識で解いてみました。
ありがとうございます。
S(n+1)>S(n)を示せばいいことは分かるのですが、
微分を用いるところが、もしかして循環論法にもなる可能性があるので、
なんとか微分を使わないで示すことができないでしょうか?
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