物体の落下運動（摩擦抵抗有り）

地表面から測って高さｈの位置から小球を静かに落下させた。
小球には地球からの重力と、速度に比例する摩擦抵抗が働いている。
小球の質量をｍ、重力加速度をｇ、摩擦抵抗の抵抗係数をαとする。
この小球が落下を始めてから地表に到達するまでの時間を求めよ。

No.2 ベストアンサー 回答者： nktnystk 回答日時： 2008/02/16 00:56

mixture518さん、こんばんは。

鉛直下方向をｘの正方向として初期条件（t=0のときv=0,x=0）を考慮して微分方程式を解くと

h=(mg/α)(t+(m/α)exp(-(α/m)t)-(m/α))

となります。残念ながらこれはｔについて解くことは出来ません。数値計算をするか、ｈが充分小さく（すなわちｔも小さい）という状況ならば、expの部分を近似して解くしかありませんね。

この回答へのお礼

こんばんわ。

丁寧な説明をしてもらい、本当に有難く思っております。
そして、そんな丁寧な説明にも関わらず理解が出来ない自分が情けなく思います。

以前説明をいただいた通り
ｘ=(mg/α)(t+(m/α)exp(-(α/m)t)-(m/α))
という式で距離をｈとして時間について解きなおすと
時間ｔが求まるとのことでしたが、出来ませんでした。

ｔの求め方はないのでしょうか？
本当に申し訳ありません。。。

お礼日時：2008/02/16 20:55

No.4 回答者： nktnystk 回答日時： 2008/02/16 22:51

mixture518さん　こんばんは。

誤解があるようですね。
h(t)=(mg/α)(t+(m/α)exp(-(α/m)t)-(m/α))
の式を変形して、数学的に厳密に、既知の関数のみを使ってt(h)をあらわすことは出来ません。もちろん形式的には上式の逆関数が解ということなのですが。最初に「その式で距離をｈとして時間について解きなおしてみてください。」と書いたのは、その形式的な手順としてのことを書いただけであって、関数の形によっては解析的に解けない(t=の形に出来ない)ことは実際ざらにあります。

No.3 回答者： tono-todo 回答日時： 2008/02/16 21:06

＃２の答えで解けた、と言ってよいのではないですか。

t=　　という形で、表せないだけで、tはh,m,αの函数です。
工業的には、ｈ,m、α等に具体的数値を与えて tを数値として取り出します。要するに解けているのです。

No.1 回答者： nktnystk 回答日時： 2008/02/15 22:57

mixture518さん　こんにちは。

ご質問の問題ですが、解法の手順だけ申します。運動方程式をたてて、この速度に関する微分方程式を時間について2回積分してみてください。そうすると時間の関数としての距離の式が出ますので、その式で距離をｈとして時間について解きなおしてみてください。

この回答への補足

早速ヒントをいただきありがとうございます。

今いただいたヒントを元に解いてみたのですが、

ｈ＝－(ｍ/α)Ｃ1ｅ(－α/ｍｔ)乗＋(ｍｇ/α)ｔ＋Ｃ2
(Ｃ1、Ｃ2は積分定数)になったのですが、ここからｔ＝～の式
にするのですか？

補足日時：2008/02/15 23:02

この回答へのお礼

早速ヒントをいただきありがとうございます。

今いただいたヒントを元に解いてみたのですが、

ｈ＝－(ｍ/α)Ｃ1ｅ(－α/ｍｔ)乗＋(ｍｇ/α)ｔ＋Ｃ2
(Ｃ1、Ｃ2は積分定数)になったのですが、ここからｔ＝～の式
にするのですか？

お礼日時：2008/02/15 23:26