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大学受験問題です。よろしくお願いします。

水平な地面上のP地点から質量Mの小物体Aを鉛直に打ち上げ、同時にQ地点から質量mの小球Bを打ち上げる。小球Bの打ち上げ角度αとPQ間の距離lは変化させることができる。小物体Aの打ち上げの初速度の大きさをV、小球Bの初速度の大きさをvとする。また、重力加速度の大きさをgとし、空気による抵抗は無視する。
BをAに衝突させるには、角度αをいくらにしなければならないか。sinαを求めよ。
私は、
Aのt秒後のx座標=Bのt秒後のx
Aのt秒後のy座標=Bのt秒後のy
なので、
(x軸方向)
l=v(cosα)t
cosα=l/vt-----☆
(y軸方向)
Aについて・・・y=Vt-(1/2)gt^2
Bについて・・・y'=vsinαt-(1/2)gt^2
A=Bより
V=vsinα
sinα=V/v-----★

☆と★より、
tanα=tV/l
sinα=tV/lcosα、としました。

ですが、解答では、
AとBが衝突する場合、A、Bは同じ座標に同じ時刻に到達しなければならない。その場合、鉛直方向について考えれば、同時に投げ出すため、鉛直方向の初速度が同じでなくてはならない。ここで、それぞれの初速度のy成分より、
vsinα=V
とあります。

ですが、これだとx軸方向が考慮されていないことになりませんか?
高さは同じでも、x座標が違うかもしれず、それだと衝突しないと思います。

また、答えには、「鉛直方向の初速度が同じでなくてはならない」とありますが、どうしてでしょうか。

以上、よろしくお願い致します。

A 回答 (4件)

goodoさん こんばんは。



2体の衝突問題でご指摘の通り
>Aのt秒後のx座標=Bのt秒後のx
>Aのt秒後のy座標=Bのt秒後のy
という解法をする場合もあります。
しかし、本問ではそもそもあらかじめあたえられている物理量は、M,m,V,v,g(定数扱い)であり、α、l(変数扱い)を調節して、2体を衝突させるという問題であり、「sinαを求めよ」という問は「sinαをM,m,V,v,gを使ってあらわせ」ということであり、その答えにlや勝手に導入した文字tは使ってはいけません。
 水平方向のことが気になっているようですが、この問題では先ずは鉛直方向の運動に着目して、角度についての条件(sinα=V/v)が導かれますが、当然これは2体衝突の必要条件であって、十分条件ではありません。さらに、水平方向の運動も加味して、両物体が地面に落ちる前に空中で衝突する条件を考えると、距離lについての条件(l<(2v/g)√(V^2-v^2))が出てきます。ご確認ください。
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この回答へのお礼

御回答ありがとうございます。
確かにtは与えられていない記号なので、解答に使ってはだめですね。それはわかりました。

>角度についての条件(sinα=V/v)が導かれますが、当然これは2体衝突の必要条件であって、十分条件ではありません。
というのは、衝突するなら、角度はαだが、角度αだからといって必ず衝突するとは限らない、ということですよね?
ですが、この問題では衝突させたる条件をきいているのだから、つまり必要十分条件を問うているのではないのですか。
衝突するときは角度αだ、というだけでは、この問題に答えていることにはならないような気がします・・・。

それから、距離lについての条件ですが、書いて頂いた式の導き方がわかりませんでした。自分が質問のところに書いたx軸方向の式からtを求めた式ということでしょうか。もう一度考えてみたいと思います。

お礼日時:2008/02/22 12:43

>衝突するときは角度αだ、というだけでは、この問題に答えていることにはならないような気がします・・・。


(問)BをAに衝突させるには、角度αをいくらにしなければならないか。sinαを求めよ。
 答えになってる。
・・・★は単に小物体Aの鉛直線上で衝突する条件だけど、この問題では「水平な地面上」と書かれているのでスタート地点より低い位置での衝突はありえない。だから求めたαは必要十分ではない。

>l=v(cosα)t
>なので、変数はtだけでなくlもαもあると思いますが・・・。
t=l/(v(cosα))
つまり「初速度v、角度α、距離lだけ離れていれば、小物体AとBのx座標が等しくなる時刻tはl/(v(cosα))である」。どこが不満?
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
問題の捉え方なのでしょうね。

お礼日時:2008/03/05 03:04

goodoさん こんばんは。



>>>>>>
衝突するなら、角度はαだが、角度αだからといって必ず衝突するとは限らない、ということですよね?
ですが、この問題では衝突させたる条件をきいているのだから、つまり必要十分条件を問うているのではないのですか。
衝突するときは角度αだ、というだけでは、この問題に答えていることにはならないような気がします・・・。
>>>>>>

この点はおっしゃる通りです。数学的に考えるならば、必要条件だけではだめで、必要十分な解答をするべきです。しかし、この問題は大学入試問題では割とポピュラーな問題なのですが、設問の流れから出題者の意図は、先ずαの条件、次にlの条件を求めさせて、最終的には必要十分な条件を導くというタイプの問題であろうと推察されます。物理の入試問題では誘導にしたがって、出題者の意図を読み取って解答していくという「読解力」が大切です。

>それから、距離lについての条件ですが、書いて頂いた式の導き方がわかりませんでした。

この質問についてはヒントを書きますと、水平方向に進む時間を求めて、この時間で鉛直に投げ上げた物体がどこの高さにあるかを求め、これが正であるという条件式を作ります。後はこの式から先に求めたsinαの式を使ってαを消去してみてください。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。お礼が遅くなりすみません。

なるほど、設問1、2…と順に求めていって最後に答えをだすというのですね。数学ではよくありました。この問題もそうだと思います。なんだか考えてもしょうがない質問に度々お付き合いいただきありがとうございました。
距離lについては再度自分で解いてみます。
ご丁寧に教えていただきありがとうございました。

お礼日時:2008/03/05 03:03

・y軸方向


y=vt-(1/2)gt^2
であり、加速度同じ(g)で同時(t=0)に投げてる。
となると残るv(y方向の初速)が等しくないといけません。

・x軸方向
x=vt
で小物体Aのx座標が定数なのでぶつかるときの時刻が求まるだけです。
その時刻は小物体Bのx方向の初速に依存します。

時刻を求める問題ではないからx軸方向を考慮していないのです。
まさか反対方向に投げる訳ないので。
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この回答へのお礼

御回答ありがとうございます。
y軸方向についてはわかりました。自分で立てた式からも納得しました。

ですが、x軸方向についてはやはりよくわかりません。
>小物体Aのx座標が定数なのでぶつかるときの時刻が求まるだけです
とのことですが、x軸方向に関してA=Bとすると、
l=v(cosα)t
なので、変数はtだけでなくlもαもあると思いますが・・・。

>時刻を求める問題ではないからx軸方向を考慮していないのです。
>まさか反対方向に投げる訳ないので。
というのもあまりよくわかりませんでした。

お礼日時:2008/02/22 12:53

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BをAに衝突させるには、角度αをいくらにしなければならないか。sinαを求めよ。
私は、
Aのt秒後のx座標=Bのt秒後のx
Aのt秒後のy座標=Bのt秒後のy
とし式を立てました。

ですが、解答では、

AとBが衝突する場合、A、Bは同じ座標に同じ時刻に到達しなければならない。その場合、鉛直方向について考えれば、同時に投げ出すため、鉛直方向の初速度が同じでなくてはならない。ここで、それぞれの初速度のy成分より、
vsinα=V
とあります。
ですが、鉛直方向だけで、どうしてx軸方向は考えないのでしょうか。
高さは同じでも、x座標が違うかもしれず、それだと衝突しないと思います。

また、答えには、「鉛直方向の初速度が同じでなくてはならない」とありますが、どうしてでしょうか。

以上、よろしくお願い致します。

大学受験問題です。よろしくお願いします。

水平な地面上のP地点から質量Mの小物体Aを鉛直に打ち上げ、同時にQ地点から質量mの小球Bを打ち上げる。小球Bの打ち上げ角度αとPQ間の距離lは変化させることができる。小物体Aの打ち上げの初速度の大きさをV、小球Bの初速度の大きさをvとする。また、重力加速度の大きさをgとし、空気による抵抗は無視する。
BをAに衝突させるには、角度αをいくらにしなければならないか。sinαを求めよ。
私は、
Aのt秒後のx座標=Bのt秒後のx
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Aベストアンサー

>>放物運動する2物体が衝突する場合の考え方は、
>>「同じ運動をする座標成分を見つける」のがコツです。

>というのを知っていれば、確かにy方向だけ考えればいい、
>とわかります。まだあまり問題を解いていないので知りません
>でした。ですが、どうして、上のコツが言えるのかが、
>わかりません。

衝突する=同じ時刻に、同じ位置を占める。

ということです。x、y座標のうち、運動が一致している成分(今の場合はy座標)を見つければ、残りの成分(今の場合は、x成分)をみていくだけになるので、扱いが楽になります。

>「さらに、Aは鉛直上向きに投げ上げており、Bは、A方向へVcosαで
>近づいていくので、地面に落下することを考えなければ、必ず衝突
>することになります。」
>と言える理由がわからないのです。

2物体のy座標は、各時刻で一致しているので、x座標が一致したときに2物体が、同じ時刻に同じ位置を占めることになり、衝突します。

Aのx座標は不変で、Bは、Aの側へ一定速度で近づいているので、地面に落下することを考えなければ、いつかは必ずx座標が一致します。
よって、必ず衝突することになります。

>vsinα=Vがどうして必要十分条件でないのかがわかりません。

vsinα=Vが成り立っていたとしても、vの大きさが小さければ、空中で衝突する前に、地面に落下してしまいます。

よって、

衝突するためには、vsinα=Vであることが必要。
vsinα=Vだからといって、必ず衝突するわけではない。

ということなので、vsinα=Vは、必要十分条件ではなく、必要条件です。

参考URL:http://webkouza.com

>>放物運動する2物体が衝突する場合の考え方は、
>>「同じ運動をする座標成分を見つける」のがコツです。

>というのを知っていれば、確かにy方向だけ考えればいい、
>とわかります。まだあまり問題を解いていないので知りません
>でした。ですが、どうして、上のコツが言えるのかが、
>わかりません。

衝突する=同じ時刻に、同じ位置を占める。

ということです。x、y座標のうち、運動が一致している成分(今の場合はy座標)を見つければ、残りの成分(今の場合は、x成分)をみていくだけになる...続きを読む


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