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数列 1,1+5,1+5+9…… の第n項までの和を求めるという問題なのですが、整理すると1,6,15……となりますよね?ですが、全く規則性が見当たらず一般項すら見当がつきません。

解法を教えてください。

A 回答 (4件)

>> S1=1, S2=7, S3=22, S4=50


……
>> A1=1       =1
>> A2=1+5     =6
>> A3=1+5+9   =15
>> A4=1+5+9+13 =28
……
  第一階差を取ると、
 B1=A2-A1=5
 B2=A3-A2=9
 B3=A4-A3=13
……
  第二階差を取ると、
 C1=B2-B1=4
 C2=B3-B2=4
……
 第二階差数列 {Cn} が定数4で、
 第一階差数列 {Bn}は、
  初項5、公差4の等差数列です。

  公式は、
 Bn=B1+Σ[k=1,n-1]Ck (n≧2)
 An=A1+Σ[k=1,n-1]Bk (n≧2) ですから、

 Σ[k=1,n](1)=n
 Σ[k=1,n](k)=n(n+1)/2
 Σ[k=1,n](k^2)=n(n+1)(2n+1)/6 を使い、

 形式的に計算できます。

 Bn=5+Σ[k=1,n-1](4)  (n≧2)
   =5+4(n-1)
   =4n+1

 An=1+Σ[k=1,n-1](4k+1)  (n≧2)
   =1+4[n(n-1)/2]+[n-1]
   =1+2n(n-1)+n-1
   =2(n^2)-n

   総和Snは、

 Sn=Σ[k=1,n]( 2(k^2)-k )
   =2[n(n+1)(2n+1)/6]-[n(n+1)/2]
   =[2n(n+1)(2n+1)/6]-[3n(n+1)/6]
   =[n(n+1)/6][2(2n+1)-3]
   =[n(n+1)/6][4n+2-3]
   =n(n+1)(4n-1)/6  となります。

   n=1,2,3,4を あてはめて見ると、
 S1=(1*2*3)/6=1
 S2=(2*3*7)/6=7
 S3=(3*4*11)/6=22
 S4=(4*5*15)/6=50  。
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ANo.1です。


規則性が見つけられなかったですか。
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等差数列の和のさらなる和を求める問題です。



この数列の第k項は等差数列の和(初項1項差4)であるから

k/2・(2+(k-1)・4)=2k^2-k

これよりΣ[k=1,n](2k^2-k)を計算すれば和が求まります
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1,1+1+4,1+5+5+4,1+5+9+9+4,・・・にみえるけど。

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この回答へのお礼

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お礼日時:2008/02/21 18:18

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