マンガでよめる痔のこと・薬のこと

数列 1/1*3,1/2*4,1/3*5… という数列の第n項までの和を求めるという問題なのですが、各項を部分分数分解をして
Sn=1/2(1/1-1/3)+1/2(1/2-1/4),……,+1/2(1/n-1/n+2)としたのですが、きれいに整理されません。

どうすればいいでしょうか?教えてください。

A 回答 (3件)

  横書きすると、判り難いので、


 縦書きするように、お薦めします。

 数列の和 Sn
Sn
=[1/(1・3)]+[1/(2・4)]+[1/(3・5)]+・・・+[1/(n・n+2)]

=(1/2)[1/1]     -(1/2)[1/3]
+(1/2)[1/2]     -(1/2)[1/4]
+(1/2)[1/3]     -(1/2)[1/5]
+(1/2)[1/4]     -(1/2)[1/6]
+(1/2)[1/5]     -(1/2)[1/7]
+・・・
+(1/2)[1/(n-4)] -(1/2)[1/(n-2)]
+(1/2)[1/(n-3)] -(1/2)[1/(n-1)]
+(1/2)[1/(n-2)] -(1/2)[ 1/n ]
+(1/2)[1/(n-1)] -(1/2)[1/(n+1)]
+(1/2)[ 1/n ]  -(1/2)[1/(n+2)]

=(1/2)[1/1]+(1/2)[1/2]-(1/2)[1/(n+1)]-(1/2)[1/(n+2)]     
----
    
2*Sn
=[1/1]+[1/2]-[1/(n+1)]-[1/(n+2)] 
=[3/2]-[(2n+3)/(n+1)(n+2)]
=[3/2]-[(2n+3)/(n+1)(n+2)]
=[3(n+1)(n+2)-2(2n+3)]/[2(n+1)(n+2)]
=[3(n^2)+9n+6-4n-6]/[2(n+1)(n+2)]
=[3(n^2)+5n]/[2(n+1)(n+2)]
=[n(3n+5)]/[2(n+1)(n+2)]
---

結果は、
Sn=[n(3n+5)]/[4(n+1)(n+2)]  。
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Sn=1/2{(1/1-1/3)+(1/2-1/4)+・・・・+(1/(n-1)-1/(n+1))+(1/n-1/(n+2))}



これで,まとめると

Sn=1/2{1/1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)}

後はまとめよう.
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その式までたどり着ければ,あと少しです.以下アイデアのみ.



第四項くらいまでまじめに書くと
 Sn = (1/2 - 1/6) + (1/4 - 1/8) + (1/6 - 1/10) + (1/8 - 1/12) + ...
となりますが,第一項の -1/6 と第三項の 1/6 がキャンセルします.
同様に第二項の -1/8 と第四項の 1/8 がキャンセルします.
……
このように考えると,最終的には最初と最後の少しの部分しか
残らないことがわかります.
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