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w+x+y+z=5を満たす0以上の整数w,x,y,zの組み合わせはいくつあるか。

という問題の解説が
w+x+y+z=5なので、5個のものを一列に並べて3つの仕切りを入れると考えると、合計8個を横一列に並べばよいので、8C3=56通りとなる。

とありますが意味が全くわかりません。この解説の意味と、もしくは他にもっと分かりやすい解き方があれば教えてください。

A 回答 (5件)

こんばんは。



足して5になるので、1が5箇所あります。
1個の玉を●で表します。
すると、玉5個は、
●●●●●
と表せます。

これに3つの仕切りを入れます。
たとえば、
●|●|●|●●
は、(w,x,y,z)=(1,1,1,2)を表しています。

|●●||●●● は、(0,2,0,3)を表しています。

●●●●●||| は、(5,0,0,0)を表しています。

仕切りを|でなく○で描いて見ましょう。
すると、
(1,1,1,2)は、●○●○●○●●
(0,2,0,3)は、○●●○○●●●
(5,0,0,0)は、●●●●●○○○
となります。
こうしてみると、求める場合の数は、「8箇所の中から、白玉が入れる場所3箇所を選ぶ組合せの数」と同じであることに気づきませんか?
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再び失礼します。



「アドバイス」「参考意見」に変わってしまってますが、ミスです。
いつもの癖でそうしてしまいました。
別に私の予想では無いので、「自信あり」に訂正します。
誤解を招かない為に。すいませんでした。
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No.1です。



動かすのは三つの仕切りだけです。
その結果重複する形が出てくるので組み合わせに成ります。
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まず、w+x+y+z=5なので、各文字には、1が合計で5個入るようにすればよいのです。


この1を、●と考えると、
●●●●●と|||の組み合わせとなります。
たとえば、wに1、xに1、yに1、zに2を入れるとすると、
●|●|●|●●
こんなふうになります。
後は、これを並べ替えればよいのです。
と、こんな感じですが、分かりづらかったらすみません。
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難しく考え過ぎです。



つまり、こう言う事です。

1仕切り 1仕切り 1仕切り 1 1

左からw x y z です。

するとこの場合、

w=1
x=1
y=1
z=2

よって、合計は5ですよね。
こう言う事です。

つまりは、このそれぞれの「1」と「仕切り」を上記のように並べると、全部で8つの要素が出来ます。それの組み合わせなので結果的に8C3と成ります。
数字だからと言ってややこしく考えずに、基本はそれぞれの要素を並び替える際の確率だ、と言う認識を忘れないで下さい。

この回答への補足

解説ありがとうございます。1と仕切りによって8をつくるのはわかりました。ただ、8C3というのはどうして出てくるのでしょうか?8C3は8つの中から3つ選ぶというやり方だったように思うのですが・・・。8つの並び順を決めるので8!かなと思ってしまいます。よろしくお願いします。

補足日時:2008/02/21 19:40
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