出産前後の痔にはご注意!

こんばんは。

ベクトルの成分表示で解せない部分がいくつかあります。一つでも答えていただけると嬉しいです。

ベクトルa=(4,-3) ベクトルb=(2,1) ベクトルc=(-1,2)のとき、ベクトルa+t×ベクトルb(tは実数)について
ベクトルa+t×ベクトルbがベクトルcと平行になるようなtの値を求めよ。

と言う問題で、解答が

(ベクトルa+t×ベクトルb)//ベクトルcであるからベクトルa+t×ベクトルb=k×ベクトルcとすると

とあるのですが何故ベクトルcにkを付けなくてはいけないのでしょうか?
確かに付けなくては正しい答えが出ませんが何故か分かりません。

もう一つ、今度は証明で

ベクトルAB=k×ベクトルPQ(k≠0)が成り立つとき、線分AB、PQについて次の事が言える。
AB//PQ

とあるのですがABとPQが何故平行であると言えるのかが分かりません。
2つの線分同士が交わっていたりしたら平行ではないのではないのでしょうか?

パソコンによる数学記号表示が下手で失礼しました。

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A 回答 (4件)

No.1で回答した者ですが


例えばの図が変になっていました。
すいません。

     ゴール
        I
        I
        I
        I
始めーーー
三平方の3対4対5より始めとゴールの距離は5
ーを1とする。
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この回答へのお礼

お返事遅れて申し訳ありませんでした。

無事解決できました。ありがとうございました。

お礼日時:2008/09/16 20:20

2つの御質問は、内容的には同じですね。

平行の話です。
ベクトルは方向と長さだけの量です。始点や終点はあまり関係ありません。例えば、x-y座標系で原点を始点として、x軸方向に長さ1のベクトルがあるとします。このベクトルを平行移動し、始点を(0,1)にしたとします。さぁ、2つのベクトルは同じでしょうか違うでしょうか?答えは、同じです。方向、長さ、とも同じだからです。始点や終点が違っても関係ありません。

ということを考えた上で質問文をみると、
AB=kPQ
の式を考えると、ベクトルABとPQは「長さは違うが方向は同じ」です。PQに何か簡単なベクトルを考えて、kに色々な値を代入してみると分かります。「方向が同じ」=平行と言えるでしょう。ちゃんとした証明ではありませんが、そういうことです。

線分は関係ありません。あったとしても平行移動しても同じベクトルです。交わったら平行とは言えませんが、この問題では正確に言うと交わるのではなく「重なる」です。長さは違いますが。重なるならば平行です。
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>何故ベクトルcにkを付けなくてはいけないのでしょうか?


ベクトルには大きさ(絶対値)と方向があります。
平行(方向が同じ)だからといって、平行なベクトル同士の大きさ(絶対値)が等しいといえません。
そのためk倍したとき絶対値も等しくなるとすれば
絶対値と方向が同じベクトルになりますから
等号で結び付けられることになります。

お分かりですか?

kがベクトルでなくスカラーの定数だからです。
AB=(a,b),PQ=(p,q)と成分表示でベクトルを表すと
(a,b)=k(p,q)のとき
a=kp
b=kq
ですから
b/a=q/p
でベクトルの傾斜が等しいという事です。
傾斜が等しいという事は平行という事になりませんか?
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ベクトルの主な概念は『向き』と『大きさ』の2つです。



まず、はじめの方ですが、問題は
ベクトルa+t×ベクトルbがベクトルcと平行になると
いっています。
平行になる→2つの線分が同じ方向を向けばよい。
大きさ(線分の長さは等しいかどうかわからない)のでk倍という意味でkをつけています。
もしkを付けなければ、『大きさ』まで等しいと決め付けた答案になり
これは数学的に言いすぎ(問題の保障範囲を逸脱する)になるます。

次の問題についてですが、これも同様に
ベクトルAB=k×ベクトルPQ(k≠0)と表せたら
『大きさ』は等しいかわからないが、=なので『向き』は等しいということになり、AB//PQです。

補足ですがk=1ならば、ベクトルAB=ベクトルPQとなり
AB//PQ かつ AB=PQです。

k=2ならば、ベクトルAB=2ベクトルPQとなり
AB//PQ かつ AB=2PQとなります。

つまりベクトルAB=ベクトルPQというのは
『大きさ』と『向き』が等しいということです。


例えば
ここから3キロいってから4キロいくと何キロ離れる?
答え、7キロですが
ベクトルでは、ここから東に3キロいってから北に4キロいくと何キロはなれる?
答え、5キロ となるます。∵ーを1キロの長さとして

    ゴール
   I
     I
     I
     I
始めーーー    三平方の3対4対5より5キロ
ベクトルでは、いままでになかった『向き』という概念が加わります
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