質量がm=(4/3)πr^3で表される球形の雨滴が落下している。
この雨滴は落下しながらまわりの霧の微粒子を吸着している。
吸着する量は雨滴の表面積に比例しており、単位時間に単位表
面積あたり質量αの割合で大きくなっている。初めの半径をr_0、
初速を0、重力加速度をgとする。
以下の問いに答えよ。ただし、rは雨滴の半径である。任意の
時刻tにおける、
(1)半径rをr_0、α、tを用いて表せ。
(2)速度vをr_0、α、g、tを用いて表せ。
(問題文をそのまま写しました)
解答:(1)r=r_0+αt(2)v=g(r_0+αt)/4α-(g/4α)(r_0^4/(r_0+αt)^3)
(2)の解答を途中まで書きますと、
[1]鉛直下向きを正として運動方程式は
[2]m(dv/dt)=mg
[3]ここで、dr=αdtより、m(dv/dr)=mg/α
[4]積分して、m∫(dv/dr)dr=g/α∫(4/3)πr^3dr
[5]v(4/3)πr^3=(g/α)(1/3)πr^4+C (C;積分定数)
・
・
・
([1]は一行目という意味で書きました。)
自分がどこで引っかかっているかわからないので疑問に思う所をすべて書きますと。
・(2)はr_0、αに依存しないと思うのですがどうでしょうか?
・[2]でmは約分できないのでしょうか
・[4]で左辺のmはなぜ定数扱いされているのでしょうか?
不明な所がありましたらお知らせ下さい。補足で書かせて頂きます。
よろしくお願いします。
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
>これは参考書の記述が間違っていると考えていいのでしょうか?
m(dv/dt)=mg
の部分が間違っている事になります。
d(mv)/dt=mg
(dm/dt)v+mdv/dt=mg
でやると解答に示されているvの式が出てきます。
(dm/dt=α×4πr^2、dr/dt=α、m=(4/3)πr^3を用いてdv/dt=・・・ という式に書き換えます。[3][4]に出てくるものとは異なります。[2]~[5]の式は無視して解いてみてください。)
No.4
- 回答日時:
#3を受けて書きます。
[2]m(dv/dt)=mg は d(mv)/dt=mg
とすべきでしょうね。mが一定でなく時間と共に変化するからです。運動方程式は「運動量の時間変化は外力に等しい」となります。この式だとmを約することが出来ないというのも分かると思います。
この式で全部やり直してみてください。
(この式は「ある時刻にdmの水滴と衝突して合体する、速度はvからv’に変わる。このv’がgで加速されてdt後にv''になる、dtの間に起こる速度変化はdv=v''-vである」とすると出すことが出来ます。)
No.3
- 回答日時:
雨滴が周りの水蒸気を吸収して成長しながら、落下することを考えていますよね。
周りの水蒸気は、吸収される直前は静止していると考えれば、雨滴は吸収した分の水蒸気を雨滴自身の速度vまで加速してやる必要があります。この分だけ、(水蒸気を吸収しない時に比べて)雨滴の速度は小さくなるはずです。v=gtなら、水蒸気を吸収しようがしまいが変わらないと言っているんですから、明らかにこのような効果は取り込まれていませんね。
とにかく、[2]が違うんです。
運動量の変化と力積について考えて見てください。
回答ありがとうございます。
今回のような場合はv=gtと単純な式にならず、解答のような複雑な式になるんですね。
丁寧に教えて頂きありがとうございました。
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