お世話になっています。

[Q]X={x1,x2,…,xn}を内積空間Vの正規直交集合とせよ。この時,次の(i),(ii)を示せ。
(i)spanX=V ならば x∈V,x=Σ[i=1..n](<x,xi>xi)
(ii)x∈V,∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2ならばXは完全

完全の定義は「正規直交集合Xが完全とはVの中での最大個数の正規直交集合の時,Xを
完全と言う」です。
つまり,#X=max{#S∈N;(V⊃)Sが正規直交集合}を意味します。

証明で行き詰まっています。

(i)については
x∈Vを採ると,spanX=Vよりx=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。
これからΣ[i=1..n](<x,xi>xi)にどうやって持ってけばいいのでしょうか?

あと,(ii)についてはさっぱりわかりません。
何か助け舟をお願い致します。

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A 回答 (1件)

>x=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。


<xi,x>を計算すれば終わり

>(ii)についてはさっぱりわかりません
「任意の」x∈Vに対して
∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2
ならばXは完全

x1,...,xnとは異なるyをとり,
x1,...,xn,yが正規直交であると仮定する.
||y||^2 = Σ[i=1..n]|<y,xi>|^2を計算すれば
矛盾がでてくる.
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この回答へのお礼

有難うございます。


>x=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。
> <xi,x>を計算すれば終わり

Σ[i=1..n]cixi:=x,Σ(<x,xi>xi)=Σ[i=1..n](c1<x1,xi>+c2<x2,xi>+…+cn<xn,xi>)
=Σ[i=1..n]cixi=x
となりますね。


> >(ii)についてはさっぱりわかりません
> 「任意の」x∈Vに対して
> ∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2
> ならばXは完全
> x1,...,xnとは異なるyをとり,
> x1,...,xn,yが正規直交であると仮定する.
> ||y||^2 = Σ[i=1..n]|<y,xi>|^2を計算すれば
> 矛盾がでてくる.

仰ると通り証明できました。

お礼日時:2008/03/01 08:27

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QV:有限次元内積空間,∀f∈Dual(V),∃1y∈V such that f(x)= (∀x∈V)

宜しくお願い致します。

[問]VとDual(V)をそれぞれ有限次元内積空間とVの双対空間とする。
∀f∈Dual(V),∃1y∈V such that f(x)=<x,y> (∀x∈V)

という問題が証明できません。

Dual(V)はvHom(V,C):={f;f:V→C,fはベクトル空間準同型}(Cは複素数体を表す)
の事です。
fがベクトル空間準同型とは∀v,w∈V,∀c∈C,f(v+w)=f(v)+f(w)∧f(cv)=cf(v)と満たす線形写像の事です。

内積の定義は複素線形空間Vの任意の要素x,yに対して複素数<x,y>が定まり,次の4条
件を満たす時<x,y>をxとyの内積といい,内積が定義されている空間Vを内積空間と言
う。
(i) <x,x>≧0; <x,x>=0⇔x=0
(ii) <x,y>=<y,x>~ (~はバーを表す)
(iii) <x+y,z>=<x,z>+<y,z>
(iv) <αx,y>=α<x,y>

です。
この命題を満たすyとして何を採れば宜しいのでしょうか?

Aベストアンサー

んーー,わざわざ「射影」といったのに
証明のその部分を読み飛ばしてるとは・・・

>∃v∈V\Ker(f)でC∋)f(v)≠0(∵Kernelの定義)で∀x∈Vに対し
>f(x-f(x)/f(v)v)=f(x)-f(x)/f(v)f(v)(∵fは線形写像)=f(x)-f(x)=0…(1)

これ自体は正しいのですが,このvだと余計な成分があって駄目です。
射影もしくは「分解」とかの議論がありませんでしたか?
(何を参照したのか分かりませんがなければその証明はだめです)

vそのものではなく,
Kef(f)+U=Vのように直交分解して
v=w+u,wはKer(f)の元,uは0ではなく,Ker(f)とuは直交
となるようにします.
#これは有限次元だから可能
#けどヒルベルト空間ならこれに類することができる
このとき,
∀x∈Vに対し
f(x-f(x)/f(u)u)=f(x)-f(x)/f(u)f(u)=0
したがって,x-f(x)/f(u)uはKer(f)の元
だから,
0=<x-f(x)/f(u)u,u> (uはKer(f)の直交補空間Uの元)
=<x,u> - f(x)/f(u) <u,u>
よって
<x,u>f(u)=f(x)<u,u>
f(x)<u,u>=<x,u>f(u)
f(x) = (f(u)/<u,u>) <x,u>
= <x, (f(u)/<u,u>)~ u>
ですか.複素でやってるので
内積の後ろに方に
スカラーを入れると共役になるのに注意.

#内積があれば,双対・もとのベクトル空間・双対の双対が
#簡単になるというありがたいお話ですな

んーー,わざわざ「射影」といったのに
証明のその部分を読み飛ばしてるとは・・・

>∃v∈V\Ker(f)でC∋)f(v)≠0(∵Kernelの定義)で∀x∈Vに対し
>f(x-f(x)/f(v)v)=f(x)-f(x)/f(v)f(v)(∵fは線形写像)=f(x)-f(x)=0…(1)

これ自体は正しいのですが,このvだと余計な成分があって駄目です。
射影もしくは「分解」とかの議論がありませんでしたか?
(何を参照したのか分かりませんがなければその証明はだめです)

vそのものではなく,
Kef(f)+U=Vのように直交分解して
v=w+u,wはKer(f)の元,uは0ではなく...続きを読む

QXi(i∈I)が凸集合⇒∩[i∈I]Xiも凸集合

Rを実数体とする。
R^n⊃Xi(i∈I)が凸集合⇒∩[i∈I]Xiも凸集合
を示したいのですが
∀λ∈[0,1], x,y∈∩[i∈I]Xi,
λx+(1-λ)y=…

からどのようにして

∈∩[i∈I]Xiに辿り着けますでしょうか?

Aベストアンサー

集合Xが凸集合であるとは、X内の任意の2点A,Bに対して、線分ABがXに
含まれていることである。もう少し式を使えば、任意のλ(0≦λ≦1)
に対して、λA+(1-λ)B∈Xとなることである。

∩[i∈I]Xiから任意の2点A,Bをとる。
AもBもすべてのXiに含まれており、Xiは凸集合だから線分ABはXiに含ま
れている。
つまり、線分ABはすべてのXiに含まれており、線分ABはXiの共通集合
∩[i∈I]Xiに含まれている。
よって、∩[i∈I]Xiは凸集合である。

一般に、共通集合は、それぞれの集合の共通の性質を引き継いでいると
いうことか。

式より以前に、意味を考えるようにすると良いと思います。

Qy,z∈V'(Vの線形写像全体の集合)[x,y]=0→[x,z]=0は∃α∋z=αyを意味する事を示せ。

おはようございます。

[Q] Prove the following statement:
Let y,z∈V'(set of all linear functionals on V) [x,y]=0→[x,z]=0 implies that ∃α∋z=αy.

という問題に悪戦苦闘しています。
linear functionalは線形汎写像(終集合がRやCの線形写像)の意味。

この問題はつまり、
"y(x)=0⇒z(x)=0"が成立するならば
線形写像z:V→R(or C) はαyという写像(zはyのスカラー倍になっているような線形写像)。
つまり、
V∋∀x→z(x):=α(y(x))という写像
である事を示せ。
という意味だと解釈しています(勘違いしておりましたらご指摘ください)。
その場合,どのように証明すればよいのでしょうか?

Aベストアンサー

#1です。
>>V≠Ker(y)の時はα:=z(x_0)/y(x_0)と採れば
∀x∈Vに対し、
x∈Ker(y)ならz(x)=0且つy(x)=αz(x)=α・0 (∵仮定) =0となるのでy=zでOK。
x∈V\Ker(y)ならz(x)=(z(x_0)/y(x_0))y(x)=???=y(x)
何故か
z(x)=y(x)が言えません。

z=yではなくz=αyとしてるので問題は無いように思いますが。

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Q{x1,x2,…,xn}は正規直交系でxがspan{x1,x2,…,xn}に無いならxは直交する?

[Q] Given a orthonormal set,O:{x1,x2,…,xn},and x is not in spanO,show that x is orthonormal to every vector in O.

という定理についてです。
仮定は<xi,xj>=δij (i,j∈{1,2,…,n})
xがspanOの中に無いというのだからx,x1,x2,…,xnは一次独立ですよね。
一次独立だからといってxがOのどの元とも直交するとは言えませんよね。
背理法で∃i∈{1,2,…,n};<x,xi>≠0だと仮定してみると
∥x∥∥xi∥cos∠(x,xi)≠0と書け、、、
からどうやってxがOのどの元とも直交である事を示せばいいのでしょうか?

Aベストアンサー

[Q]で書いてある主張は正しくないです.
反例:n=1, x_1=(1 0)の転置, x=(1 1)の転置.


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