指数計算について

こんにちは。指数計算についてです。
４√３の６乗×４√３の３乗÷４√３　という問題ですが、
問題の４√３が３と４分の１になる理由が分からないので教えて欲しいです。
分かりにくくてすいません。

No.2 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2008/03/02 19:57

こんばんは。

４×√３　だと思って考えていたら・・・なんか変
・・・あー！　３の４乗根ということですか。

４乗根というのは、２乗根の２乗根、つまり、ルートのルートっていうことですよ。

わかりやすい例を挙げてみますね。

３の１乗は　３
３の２乗は　３×３　＝　９
３の３乗は　３×３×３　＝　２７
３の４乗は　３×３×３×３　＝　８１
３^4　＝　８１

ここで、主役を逆転させ、右の人を主役にします。
すると、
３の１乗根は３
９の２乗根は３
２７の３乗根は３
８１の４乗根は３

４乗根というのは、４乗根を４回かけたら元の数になるということです。
4√８１　＝　３


以上のことから、
８１　＝　３^4　　・・・（あ）
4√８１　＝　３　　・・・（い）
という、２つの関係が出ました。

では、（い）において、左辺だけを４回かかけて、右辺だけも４回かけてみます。

（4√８１）^4　＝　３^4
つまり、
（4√８１）×（4√８１）×（4√８１）×（4√８１）　＝　８１　　・・・（う）

ここで、だまされたと思って、仮に、
4√８１　＝　８１の４分の１乗　＝　８１^(1/4)
と置いてみると、
（う）の左辺は、
８１^(1/4) ×８１^(1/4) ×８１^(1/4) ×８１^(1/4)

ここで、指数法則の　Ａ^x × Ａ^y　＝　Ａ^(x+y)　を利用する、
つまり、
Ａ^a × Ａ^b × Ａ^c × Ａ^d　＝　Ａ^(a+b+c+d)
を利用すれば、

８１　＝　4√８１
　＝　８１^(1/4) ×８１^(1/4) ×８１^(1/4) ×８１^(1/4)
　＝　８１^(1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4)
　＝　８１^1
　＝　８１
というわけで、矛盾無く、ピタリと一致しました。

よって、ａの４乗根のことは、
4√ａ　と書いてもよいし、ａ^(1/4) と書いてもよいということになります。

4√３　＝　３^(1/4)
３の４乗根　＝　３の４分の１乗

No.1 回答者： age_momo 回答日時： 2008/03/02 19:40

>問題の４√３が３と４分の１になる理由が分からないので教えて欲しいです。

>分かりにくくてすいません。

確かに分かりにくい書き方です。文脈からすると４√３とは3の4乗根を
表しているのですね。4乗根とは4乗してその数字になる数です。
指数法則は

(a^b)^c=a^(bc)　（ここで^は乗を表します。3の1/4乗を表します。）

つまり、aをb乗したものをc乗するとaのbc乗になるという性質が
あります。3の4乗根なら4乗すると3になるので

x^4=3

両辺を(1/4)乗すると

(x^4)^(1/4)=x^(4*1/4)=x=3^(1/4)

4乗根は(1/4)乗と表記するのが適当だと分かります。
分からなければとりあえず、

√x=x^(1/2)　　(√は2乗根ですから）
(3)√x=x^(1/3)　xの3乗根とはxの(1/3)乗
(4)√x=x^(1/4)　xの4乗根とはxの(1/4)乗

と覚えてください。