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皆様こんにちは。

[Q]Σ[k=1..∞]e^(-kx)はx∈(0,∞)で収束する事を示せ。またこの和の導関数は項ごとの微分によって得られる事を示せ。

がなかなか示せません。

前半は下記の通り示してみました。
Σ[k=1..∞]e^(-kx)=Σ[k=1..∞]1/e^x(1/e^x)^(k-1)=1/e^x/1-(1/e^x)
(∵初項1/e^x,公比1/e^xの無限等比級数でx∈(0,∞)では公比が|1/e^x|<1なので)
これで正しいですよね?

それと後半はどうやって示せますでしょうか?

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A 回答 (2件)

まさに「そのまま」です.


#式には適切に括弧をつけること

Σ[k=1..∞]e^(-kx)=Σ (e^{-x})^k
=1/(1-e^{-x})

ひとまず,これを微分すれば
-e^{-x}/(1-e^{-x})^2

一方,e^{-kx} を微分すれば
-ke^{-kx}
だから
-Σ[k=1..∞] ke^{-kx}
を計算すればよい.
見にくいから,求める和をS,e^{-x} = X とでもおけば
-S=Σ[k=1..∞] k X^k
となって.X=1ではないので
-Sn = Σ[k=1..n] k X^k とでもおけば
これはもう高校でよくやる問題になるでしょう.
-(1-X)Sn = X(1-X^n-1)/(1-X) -nX^{n+1}
|X|<1 だから X^{n}->0だし
nX^{n+1} = (n/e^n)(1/e) -> 0
よって
-S= X/(1-X)^2
これで証明終わり
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この回答へのお礼

有難うございます。
意外にも簡単なのですね。
納得できました。m(_ _)m

お礼日時:2008/03/12 02:59

そのままでしょう。



導関数の定義

f'(x)=lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h

g(x)=f1(x)+f2(x)+・・・・+fn(x)とすると

g'(x)=lim[h→0]{g(x+h)-g(x)}/h
=lim[h→0]{f1(x+h)+f2(x+h)+・・・・+fn(x+h)-f1(x)-f2(x)-・・・・-fn(x)}/h
=lim[h→0][{f1(x+h)-f1(x)}/h + {f2(x+h)-f2(x)}/h +・・・・+{fn(x+h)-fn(x)}/h
=lim[h→0][{f1(x+h)-f1(x)}/h+・・・・+lim[h→0]{fn(x+h)-fn(x)}/h
=f1'(x)+f2'(x)+・・・・+fn'(x)
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この回答へのお礼

有難うございます。
意外にも簡単なのですね。
納得できました。m(_ _)m

お礼日時:2008/03/12 02:58

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