痔になりやすい生活習慣とは?

半導体物性の本を読んでいて、電子のドリフト速度と移動度の関係のところでわからないことがあります。移動度の導出に以下の式が出てきます。
-q * E * τ = m * v
(qは電子の電荷、Eはかけた電界、τは電子のmean free time、mは電子の実効質量、vはドリフト速度)の式がでてきます。それは「電子が次に衝突するまでの間に電界からうけた力で、モーメントはm*vだけ増加する」ということ思いますが、このとき、衝突直後の電子の速度は0で、それがτ後にvまで上がり、そして衝突してまた速度が0になり、の繰り返しが起こっていると解釈しています。つまり時間を横軸、速度を縦軸に取ると、のこぎり状の状態で速度は0とvの間を動いているとイメージしているのですが、違いますでしょうか? もしこのイメージが正しいとすると、このvは電子のドリフト速度とは違うのではないかと思えるのです。電子のドリフト速度というのは、「電子の平均速度」だと思えます。一方この式に出てきているvは、「電子のトップスピード」であって、平均された速度はこれよりも遅くなるのではないかと思えるのです。この考え方のどこが矛盾していますでしょうか?よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

>定性的には、τは"mean free time"(これは「電子のある衝突から次の衝突までの時間の平均」だと理解していますが)



はいそうです。

でも、ある時刻の速度(運動量)の平均値を決めるのは、「衝突と衝突の間隔の平均」ではなく、「前の衝突からの経過時間の平均」ですよね。今の場合は後者もτなんです。
※次の衝突までの時間は0とは限らないのに、「前の衝突からの経過時間の平均」がτになる事がおかしいと思うのであれば、例えば、http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2792670.html の私の回答を参照して下さい。

>統計的にはτよりももっと長い時間衝突なしで加速する電子もかなりあるため、実効的な平均速度は私が当初考えていたものよりもずっと上がっている、というような理解でいいのでしょうか。

単に衝突間隔が長いものからの寄与があるから、というのではなく、衝突間隔が長いもの寄与(前の衝突からの経過時間への寄与)が大きいんです(大きいというのは、「衝突と衝突の間隔の平均」を考える時と比べてです)。参考URLで言う1の目のサイコロがすぐにサイコロを振り直すせいで、1の目が少なく6の目が多くなるのと同じ理由ですです。


>-q * E * τ = m * v
のvが平均速度である事は、「微少時間dtの間に電子が衝突により速度が0になる確率がdt/τである」という事を認めれば、次のように理解する事もできます。(最初から、こういう説明を書いた方がよかった気がしてきた...)

電子1個の運動方程式は、
mdv/dt = -qE -衝突の項
の形になっています。これを全ての電子について平均すると、
md<v>/dt = -qE - m<v>/τ
になります。<v>は平均速度です。衝突の項の平均がm<v>/τになる事は、次のような理由によります。
運動量の平均はm<v>で、微少時間dtの間にdt/τの割合の電子が速度を失いますから、dtの間に電子1個辺りm<v>dt/τの運動量が失われます。運動量の変化量は力積ですから、これをdtで割ったm<v>/τが実効的な「力」になるという訳です。

定常状態では、d<v>/dt=0であるはずですから、
-q E τ = m <v>
となります。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2792670.html
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この回答へのお礼

eatern27さん、どうも重ね重ね説明ありがとうございました。まだ心の底からは理解できていないのですが、少し手がかりがつかめてきたという感じです。もう少し自分で時間をかけて考えてみます。

お礼日時:2008/03/13 12:22

直ぐに外出するので手短にいいますと、


全部の電子が一律にτの時間で衝突すると思っているのが原因です。実際にはそんな律儀な事にはなっておらず、衝突の間隔は、平均τのポアソン分布に従います。このあたりをきちんと考えると、
>-q * E * τ = m * v
のvが、平均速度である事が分かります。

詳しくは、Drude model(ドゥルーデモデル)について調べるといいと思います。
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この回答へのお礼

なるほど、統計的な概念を導入する必要があったのですね。どうもご指摘ありがとうございました。
もしよければもう一点教えて下さい。(Drude modelは調べ始めたのですがまだよく理解していません。) 定性的には、τは"mean free time"(これは「電子のある衝突から次の衝突までの時間の平均」だと理解していますが)だけれども、統計的にはτよりももっと長い時間衝突なしで加速する電子もかなりあるため、実効的な平均速度は私が当初考えていたものよりもずっと上がっている、というような理解でいいのでしょうか。

お礼日時:2008/03/11 13:48

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Q結晶中における電子の衝突時間間隔について

ドゥルーデモデルの衝突時間間隔についての質問です。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
ドゥルーデモデルでは時間間隔dtの間に、電子1個が衝突にあう確率はdt/τで与えられる。
このとき以下の2つが成り立つ。

(a)いかなる瞬間においても、前の衝突からの経過時間あるいは次の衝突までの時間の、全電子にわたる平均はτである。

(b)電子1個が2回の連続した衝突をする時の、衝突の時間間隔の平均はτである。


このとき、(a)は、いかなる瞬間においても、最後の衝突と次の衝突との間の時間Tの全電子にわたる平均は2τであることを意味する。
なぜこの結果が(b)の結果と矛盾しないのかを説明せよ。
(アシュクロフト・マーミン固体物理の基礎 1章演習問題)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

数式を用いた解答は手元にあるのですが、この"何故矛盾しないのか?"の直感的なイメージがつかめません。矛盾するように見えてしまいます。
この(a)と(b)のニュアンスの違いと両者の無矛盾性をどうイメージしたらよいかについて、どなたか分かる方ご教示お願いします。
(できれば、数式をつかったらそうなるという以外の回答・アドバイスをよろしくお願いします。)

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~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
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このとき以下の2つが成り立つ。

(a)いかなる瞬間においても、前の衝突からの経過時間あるいは次の衝突までの時間の、全電子にわたる平均はτである。

(b)電子1個が2回の連続した衝突をする時の、衝突の時間間隔の平均はτである。


このとき、(a)は、いかなる瞬間...続きを読む

Aベストアンサー

たくさんの人を用意してそれぞれの人にサイコロを持たせます。
サイコロは、1~6の目が1/6の確率で出るとすれば、サイコロを振って出る目の平均は7/2です。

で、それぞれの人に以下の事をさせます。
(1)サイコロを振る
(2)サイコロを振った結果、
    1の目が出た→1秒間待つ→サイコロを振る。
    2の目が出た→2秒間待つ→サイコロを振る。
    ・・・
    6の目が出た→6秒間待つ→サイコロを振る。
(3) (2)を繰り返す。

そうすると、「サイコロの目の平均」は時間とともに変化するでしょうが、十分時間が経てば、この平均はある値に落ち着くでしょう。
1の目が出たらすぐにサイコロを振りなおすのに対し、6の目が出たらしばらくそのまま置いておくのですから、全体としては、より大きい目が出ているサイコロが多くなるでしょう。故に、(具体的な値は計算しませんが)この意味の平均は7/2よりも大きくなりますよね。

同じ「サイコロの目の平均」ではありますが、
前者の"平均"=7/2
後者の"平均">7/2
と値が違います。が、これは矛盾ではありませんね?


前者の「平均」は、(b)が言う「衝突の時間間隔の平均」=τ
後者の「平均」は、(a)が言う「最後の衝突と次の衝突との間の時間Tの全電子にわたる平均」=2τ
に対応します。

たくさんの人を用意してそれぞれの人にサイコロを持たせます。
サイコロは、1~6の目が1/6の確率で出るとすれば、サイコロを振って出る目の平均は7/2です。

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(1)サイコロを振る
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Q真性キャリア密度niの計算に関して

半導体工学のテキストに載っている真性キャリア密度の計算ですが
下式が有名ですが、この式と下記のパラメータを使って計算をすると、テキストに書いてある値(1.5×10^10 /cm^3または、1.45×10^10 /cm^3)と違っています。

式 ni=√(Nc*Nv)*exp(-Eg*q/2kT)
ni=√(2.8×10^19×1.02×10^19)×exp(-1.12×1.6×10^-19/2×1.38×10^-23×300)

パラメータ
Nc=2.8×10^19
Nv=1.02×10^19
q=1.6×10^-19
Eg=1.12
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T=300

計算過程は間違いないと思いますが、1.5×10^10 /cm^3または、1.45×10^10 /cm^3の値になりますでしょうか?

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昨日から、誰か回答してくれないかなぁと待っていましたが、なかなか現れないので、私が書くことにしました。
しかし、ずいぶん昔のことなので、自信がありませんので、違っているかもしれません。
たぶん次のところではないかと思うんですが。

>式 ni=√(Nc*Nv)*exp(-Eg*q/2kT)

上式は、PN積のni^2が一定となると言うことから、平方根をとっているのではないかと推測します。
この式のNcとNvがありますが、これは伝導帯中の電子の密度と価電子帯中のホール密度の定数部分ですよね。

ですが、
>テキストに書いてある値(1.5×10^10 /cm^3または、1.45×10^10 /cm^3)

この値は、伝道帯中の自由電子密度だけの値ではないでしょうか?
そう考えて、計算してみると、質問にあるパラメーターを用いて計算しても、1.5×10^10 /cm^3程度の値になります。

計算式は、
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です。

蛇足ですが、常温(T=300[K])のときのkTの値は、[eV]で表すと、約0.026[eV]となりますので、大雑把に計算するときはこの方が便利です。
ni=Nc×exp(-Eg/2*0.026)

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この式のNcとNvがありますが、これは伝導帯中の電子の密度と価電子帯中のホール密度の定数部分ですよね。

ですが、
>テキ...続きを読む

Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Q抵抗率と導電率がよくわかりません

抵抗率と導電率がよくわかりません
金、銀、銀、アルミ、白金で抵抗率と導電率の高い順番はどうなりますか?

Aベストアンサー

電気分野からの視点で回答します。
抵抗率…電流の流れにくさ
導電率…電流の流れやすさ



導体の抵抗は長さに比例し断面積に反比例します。導体の抵抗R=ρl/A[Ω]で表されます。


抵抗率ρ(ロー)は※物質によって決まる定数で
ρ=RA/l[Ω・m]←の式で表されます!
Rは抵抗[Ω]
Aは断面積[m×m]
lは長さ[m]


導電率σ(シグマ)は抵抗率の逆数なので
σ=を1/ρ[S/m]で表されます。



抵抗率の高い※物質(金属)順に
白金 1.06pΩ
アルミニウム0.275pΩ
金 0.24pΩ
銀 0.162pΩ

p(ピコ)=10の-9乗のことです。


日常生活において水に例えると!
同じ直径のホースを2本用意
1本は10m もう1本は100m
同じ勢いだと100mのホースが抵抗率が高いといえます!

Q金属、半導体の抵抗の温度変化について

金属は温度が高くなると抵抗が大きくなり、半導体は温度が高くなると抵抗が小さくなるということで、理論的にどうしてそうなるのでしょうか。
金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?
半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。
あと自分で調べていたところ「バンド理論」というのを目にしました。
関係があるようでしたらこれも教えて頂くとありがたいです。

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン(自由電子が引っこ抜かれた残りの原子)の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます(進路を乱されます)。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

>>>半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。

半導体の中において金属の自由電子に相当するものは、電子とホールです。この2つは電流を担う粒子ですので、「キャリア」(運ぶ人)と言います。
ホールは、半導体物理学においてプラスの電子のように扱われますが、その実体は、電子が欠けた場所のことを表す「穴」のことであって、おとぎ話の登場人物です。
電子の濃度とホールの濃度に違いがあったとしても、一定の温度においては、両者の濃度の積は一定です。
これは、水溶液において、H+ と OH- の濃度の積が一定(10^(-14)mol^2/L^2)であるのと実は同じことなのです。

中性の水溶液の温度が高くなると、H2O が H+ と OH- とに解離しやすくなり、H2O に戻る反応が劣勢になります。
それと同様に、真性半導体においても、温度が上がると電子とホールが発生しやすくなるのに比べて、両者が出合って対消滅する反応が劣勢になるため、両者の濃度の積は増えます。
キャリアが増えるので、電流は流れやすくなります。

こんにちは。

>>>金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン(自由電子が引っこ抜かれた残りの原子)の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます(進路を乱されます)。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

>>>半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。

半導体...続きを読む

Qキャリアの移動度と温度依存性について

キャリア密度は温度依存性がある理由は分かったのですが、なぜ移動度にも温度依存性があるのか分かりません。

どなたか回答お願いします。

Aベストアンサー

移動度と温度の関係は、キャリアの散乱機構によって異なります。
散乱機構には3種類あり、
高温では、結晶格子の熱振動によるものです。
結晶格子の熱振動が激しくなると、電子波が散乱されて移動度が下がります。温度が高かくなるほど熱振動の振幅が大きくなるので、移動度は小さくなっていきます。

低温では、格子振動は弱まりますが、イオン化不純物による散乱が起こってくるようになります。簡単に言えば、イオン化した不純物の近くをキャリアが通過しようとすると、クーロン力によりキャリアの軌道が曲げられてしまいます。不純物密度が高いほど移動度は小さくなっていきます。しかし、温度が上昇すると、速度の大きいキャリアは、すり抜け、平均速度は大きくなるため、偏向の割合が少なくなるので、移動度は増加していきます。
逆に言えば、キャリア密度が小さいときに、温度が高くなると移動度の減少の割合は大きくなります。

密度と温度の両方が関係してきますので、説明が分かりにくいかもしれません。

最後に中性の不純物によってもキャリアの散乱は受けますが、この場合の移動度は温度にはよらないことが示されています。

散乱機構と移動度の関係式

格子振動∝m*^(-2/5)・T^(-3/2)
イオン化不純物∝m*^(-1/2)T^(3/2)
中性不純物∝m*

m*:有効質量
T:絶対温度

移動度と温度の関係は、キャリアの散乱機構によって異なります。
散乱機構には3種類あり、
高温では、結晶格子の熱振動によるものです。
結晶格子の熱振動が激しくなると、電子波が散乱されて移動度が下がります。温度が高かくなるほど熱振動の振幅が大きくなるので、移動度は小さくなっていきます。

低温では、格子振動は弱まりますが、イオン化不純物による散乱が起こってくるようになります。簡単に言えば、イオン化した不純物の近くをキャリアが通過しようとすると、クーロン力によりキャリアの軌道が曲げら...続きを読む

Qブロッホの定理とは何を証明してるのですか?

数式で色々と計算して波動関数の周期性を説明しているのだと思いますが、ブロッホの定理は結局何を意味しているのでしょうか。結晶のように周期ポテンシャルが存在すれば、そりゃあ電子の波動関数も周期的に分布するのでは?と、素人の浅はかな考えを持ってしまっていて、定理の意味やその重要さが見えないままでいます。

どなたかブロッホの定理が示す意味・ブロッホの定理のおかげ可能になった事・理論or工学への貢献などを教えてもらえませんか。

Aベストアンサー

基本並進ベクトル分だけ波動関数を平行移動した時に、もとの波動関数にならなくても位相因子がずれる分には同じ状態である事に変わりはないので何も問題ないんですよ。そしてその位相因子がどういう形になるかを言っているのがBlochの定理です。

Q電子の移動度

放電について勉強中なのですが、電子の移動度で疑問があります。

参考書で電子の移動度μ_eを表す式で以下のようにあります。
μ_e={(e*λ_e)/(m_e*E)}^(1/2)
ちなみに _:下付文字、 ^:上付文字 です。

この式で以下のことは理解できます。
λが増加すれば衝突間の移動距離が増すので移動度が増加する
mが増加すれば速度が減少するので移動度が減少する

しかし、この式で移動度は (E)^(1/2) に反比例します。
自分のイメージではEが増加したならば、移動度も増加すると思うのですが、
なぜ、逆に移動度が減少するのでしょうか?

回答、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#1です。Eはエネルギーじゃないですか?
(ジーガーの半導体の本など見ると、Eはエネルギーですが、べき乗がちょっと違うか。)

気をつけなければと思ったことは、質問者は真空中での電子の移動度を議論されている。私は半導体の移動度は調べたことがありますが、真空中はよくわかりません。

半導体的に言わせてもらえば、
速度V=μEなので、μが分母に√Eを含めば、
速度V∝√Eとなります。
オームの法則も変更され、電流j∝√Eとなり、
つまり、ホットエレクトロンの式です。

この式は高電場中でのホットエレクトロンの移動度の式ではないでしょうか?

ホットエレクトロンをご存知なければ、webで調べてください。

Qブリュアンゾーンの物理的な意味

 ブリュアンゾーンは、逆格子空間のウィグナーサイツセルとして定義されますが、物理的にはどんな意味があるのでしょうか。いまいち具体的なイメージがわきません。キッテルを使って勉強しているのですが、回りくどくてよくわかりません。
 さらに、フォノンの波数ベクトルが-π<Ka<-πに限定されると、なぜそこがブリュアンゾーンに対応しているのでしょうか。
 数式はキッテルに載っているので、できるだけ物理的な意味やイメージをお教えいただければと思います。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

○ブリユアンゾーンがなぜ波数なのか?

#1で述べた通り、そもそも逆格子空間とは、波数空間なのです。ですから、その一部であるブリユアンゾーンも当然波数ですよね。

○なぜウィグナーサイツセルがブリルアンゾーンになるのか?

例えば、いきなり三次元で考えると難しいので、二次元(x-y平面)の正方格子で考えます。基本格子ベクトルa1,a2から実際に基本逆格子ベクトルb1,b2を計算してみてください。y軸方向のベクトルと、x軸方向のベクトルになったと思います。
基本逆格子ベクトルb1とb2を線形結合をとることにより、一般の逆格子ベクトルGが得られますが、ゼロベクトルを別とすれば、逆格子ベクトルGの中で大きさが最も小さいのは、b1,b2含めて全部で4つですよね。この4つのベクトルを原点から書いてみて下さい。
で、結論から言いますと、これらのベクトルの垂直二等分線で囲まれた領域(四角形)がブリユアンゾーンとなるわけですが、それは何故かを考えます。
いま、
(1)このような四角形を逆格子ベクトルだけ移動させて張り合わせていくと、全平面を埋め尽くすことができますよね。また、
(2)四角形の内側の点から逆格子ベクトルだけ離れた点はすべて四角形の外側にあることになります。(つまり、ブロッホ波の波数kの周期的な任意性による重複がこの四角形の中にないってこと。)
ブロッホ波の波数kの任意性の周期は基本逆格子ベクトルですから・・・・もうこの四角形の内部の点だけを考慮すればいいことになりますよね!だから、こうやって定義された四角形はブリユアンゾーンとなるわけです。

この考え方が他の構造にも適用できます。

○ブリユアンゾーンがなぜ波数なのか?

#1で述べた通り、そもそも逆格子空間とは、波数空間なのです。ですから、その一部であるブリユアンゾーンも当然波数ですよね。

○なぜウィグナーサイツセルがブリルアンゾーンになるのか?

例えば、いきなり三次元で考えると難しいので、二次元(x-y平面)の正方格子で考えます。基本格子ベクトルa1,a2から実際に基本逆格子ベクトルb1,b2を計算してみてください。y軸方向のベクトルと、x軸方向のベクトルになったと思います。
基本逆格子ベクトルb1とb2を線形...続きを読む

Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む


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