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現在大学生で高校生に数学を教えている者です。
高校の解析学としては最大・最小値の定理はロル→平均値→ロピタル→テイラーの定理に繋がる原理として認めなければいけない定理と考えていますが、中間値の定理はこれを認めたときに高校数学の範囲内で導出できるのでしょうか?
一応区間縮小法を使っての導出を考えているのですが、もっとシンプルな方法は無いか探しております。
手元には区間縮小法を使った導出、f(x)>0とf(x)≦0を満たすxの集合に分ける方法があります。
どうぞ宜しくお願いします。

A 回答 (2件)

そのようなことを目指したと思われる証明を見かけましたので、


参考URLに挙げておきます。

実数の連続性については、連続関数が閉区間で最大・最小値を持つ
ことを天下りに認めてしまえば、話が済んだことになるようです。

もっとも、収束性の概念自体を定義しない高校数学で、
このような基礎事項を証明したようなフリをすることに
意味があるのかどうかは、大いに疑問です。

個人的感想ですが、#1さんが仰るような図によって
中間値定理に合意し、それを使って、逆に
最大・最小値の定理を証明してしまうほうが、
美しいように思います。

参考URL:http://blog.livedoor.jp/cfv21/math/intvalth.htm
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この回答へのお礼

わざわざ証明を張って下さってありがとうございます。
arrysthmia様のおっしゃるとおり、最大値⇒中間値のこの証明はあまり美しくないですね。。。(教えてもらっておいて厚かましいですが、ご容赦ください^^;)
寧ろ中間値の定理から最大値の定理はシンプルに証明可能なのでしょうか?(それとも「それを使って」は「図」にかかるのでしょうか。)

お礼日時:2008/03/12 01:14

こんばんは。

中間値の定理を高校数学の範囲で導出は無理ではないかと思います。なぜなら、中間値の定理の証明には『関数の連続性』と『実数の連続性』が必要であり、それらの事柄は高校数学の範囲を超えているからです。

ですから、高校の教科書で中間値の定理はグラフを描いて、直感的に説明していると思います。高校生に中間値の定理を教えるのならば、導出を探すよりこの方法がシンプルで理解させやすいと思いますが…。
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この回答へのお礼

やはり、実数の連続性が絡んできてしまうんですよね。。。
個人的には中間値あるいは最大値の定理のどちらかを公理的に用いて、シンプルに連関性が示せれば良いかな、と思うのですがやはりこの二つは独立に覚えないといけないのでしょうか。

高校の解析学は厳密性より寧ろ直感を育てることを目的としている様なので、直感的に教えたほうが良いのかも知れませんね。どうもありがとうございました。

お礼日時:2008/03/12 00:58

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微分積分を勉強しているのですが、全く理解できない問題がありまして・・・。

【問題】
方程式3x=2^x+2^-xは、区間(0,1)の中に少なくとも一つの実数解をもつことを示せ。

【解答】
f(x)=3x-(2^x+2^-x)とおけば、f(x)は全区間Rで連続であり、

f(0)=-2<0
f(1)=3-(2+1/2)=1/2>0

である。中間値の定理(※)により、

f(x)=3x-(2^x+2^-x)=0

であるようなxが、区間(0,1)の中に、少なくとも一つ存在する。

●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○
※連続関数の中間値の定理
関数f(x)が、閉区間[a,b]で、連続でf(a)≠f(b)のとき、f(a)とf(b)の値kに大して、

f(c)=k

である点cが、開区間(a,b)の中に少なくとも1つ存在する。
●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○

読みにくいと思いますので、添付ファイルもご覧にいただきたいのですが、どうしてf(x)=3x-(2^x+2^-x)とおけば、f(x)は全区間Rで連続になるのでしょうか?

関数f(x)が「連続であるかどうか」を調べるには、例えば、f(x)をaで微分した「lim(x→a) f(x)」と、元の関数f(x)がx=aの時、すなわち「lim(x→a) f(x)=f(a)」、「f'(a)=f(a)」となる時、連続なんですよね?

ですが、f(x)=3x-(2^x+2^-x)は、変数xが指数としてくっ付いてるので、どう微分していいのやら・・・。
なので、「全区間Rは連続であり」と言われても、全くピンときません(ToT)

どうして「<0」「>0」など、0から目線で証明を進めているのかもわかりません(>_<)
皆様のお力をお借しいただきたい次第です。
よろしくお願いします<m(__)m>

微分積分を勉強しているのですが、全く理解できない問題がありまして・・・。

【問題】
方程式3x=2^x+2^-xは、区間(0,1)の中に少なくとも一つの実数解をもつことを示せ。

【解答】
f(x)=3x-(2^x+2^-x)とおけば、f(x)は全区間Rで連続であり、

f(0)=-2<0
f(1)=3-(2+1/2)=1/2>0

である。中間値の定理(※)により、

f(x)=3x-(2^x+2^-x)=0

であるようなxが、区間(0,1)の中に、少なくとも一つ存在する。

●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○
※連続関数の中間値の定理
関数f(x)が、閉区間[a,b]で、...続きを読む

Aベストアンサー

>関数f(x)が「連続であるかどうか」を調べるには、例えば、f(x)をaで微分した「lim(x→a) f(x)」と、元の関数f(x)がx=aの時、すなわち「lim(x→a) f(x)=f(a)」、「f'(a)=f(a)」となる時、連続なんですよね?

いろいろ違います。
まず、
>f(x)をaで微分した「lim(x→a) f(x)」
とありますが、微分係数の定義からするとf`(a)=lim(x→a)(f(x)-f(a))/(x-a)です。連続と混合されてると思います。
f(x)が点aで連続であることの定義はlim(x→a) f(x)=f(a)となることです。この定義に微分は介入しません。
たとえば、g(x)=2^xとおけば、lim(x→1)g(x)=lim(x→1)2^x=2となりg(1)と一致するのでg(x)はx=1で連続ですし、同様にx=2でも3でも連続になります。一般的なaにおいてもlim(x→a)g(x)=lim(x→a)2^x=2^aとなりg(a)と一致するので全実数区間で連続です。

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とかいてありますが・・・・

教えてください。

Aベストアンサー

>あまり重要な事柄ではないのでしょうか。

とんでもない.
線形代数(高校ならベクトル)の中心概念です.
ただし,高校のベクトルの範囲ならば
わざわざ一次独立なんて言葉を出さないでも
議論できてしまうので,表に出てないだけです.

一次独立というのは

二つのベクトルa,bと係数k,lにたいして
k a + l b = 0 が成り立つならば
k=l=0 である

ということです
これはa=(a1, a2) b=(b1, b2)と書いたときに
連立方程式
k a1 + l b1 = 0
k a2 + l b2 = 0
の解が(k,l)=(0,0)となることを意味し
また
行列
a1 b1
a2 b2
の行列式が0ではないことを意味します
このように高校の(平面)ベクトルの範囲では
「連立方程式の言葉」や
「行列式の言葉」に簡単に直せてしまうので
あまり表立って出てこないのです

一次従属は「一次独立ではない」というのが定義です
これを書き下せば

同時に0とはならない適当な係数k, lを選べば
k a + l b = 0 とすることができる

ということになって,これは(平面)ベクトルの
言葉でいえばaとbが平行ということです
連立方程式の言葉でいえば
・解が無数に存在する
行列式の言葉でいえば
・行列式が0になる
ということになります.

一次変換まで考えたりして,
まだまだいろいろあるのですが,
高校のベクトル範囲なら
これくらいで十分でしょう

>あまり重要な事柄ではないのでしょうか。

とんでもない.
線形代数(高校ならベクトル)の中心概念です.
ただし,高校のベクトルの範囲ならば
わざわざ一次独立なんて言葉を出さないでも
議論できてしまうので,表に出てないだけです.

一次独立というのは

二つのベクトルa,bと係数k,lにたいして
k a + l b = 0 が成り立つならば
k=l=0 である

ということです
これはa=(a1, a2) b=(b1, b2)と書いたときに
連立方程式
k a1 + l b1 = 0
k a2 + l b2 = 0
の解が(k,l)=(0,0)となることを...続きを読む


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