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(1)n個の自然数A1,A2,…,Anが、
A1<A2<…<An をみたすとき、
(A1+A2+…+An)^2≦A1^3+A2^3+…+An^3
が成り立つことを、数学的帰納法により証明せよ。

(2)mは自然数の定数であるとする。m個の自然数A1,A2,…Amが、
A1<A2<…<Am かつ (A1+A2+…+Am)^2=A1^3+A2^3+…+Am^3
をみたすとき、これらを求めよ。

(1)数学的帰納法でn=kとおいてからどうすればいいのかわかりませんでした。よろしくお願いします。

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A 回答 (6件)

(1) を帰納法で証明した場合, 厳密にいえば (2) の等号成立条件も帰納法で証明する必要があると思います>#4.


つまり,
・A1 = 1 のとき等号が成立する.
・A1 = 1, ..., Ak = k のとき等号が成立すると仮定して, A(k+1) = k+1 のとき, そしてそのときに限り k+1 でも等号が成立する.
を示す必要があるんじゃないでしょうか.
というのも, #1&#3 で書いたのは「A(k+1) を増やしたときの左辺の増分が A(k+1)^3 を越えない」という証明だけであり, 両辺の増分が等しいからといって「全体で」等号が成り立つとは限らないからです... とはいっても, この問題に関していえば増分が等しいという条件が直ちに全体で等号が成り立つ条件になってしまっているんですが.
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おっしゃる通りだと思います。

> #5
この問題、等号が成立する条件がクリアなので(2)なんかイージーにやっちゃいそうですけど、Ak = k が唯一の解だってことをはっきり言わないといけないのでしょうね。
いや、おもしろく勉強させてもらいました。
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おー、なるほど、すっごいシンプルですね。


で、等号成立は Ai = i ですか。> #3
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これ, 絶対に


Σ(k: 1→n) k^3 = n^2(n+1)^2/4 = [Σ(k: 1→n) k]^2 を念頭においた問題だよなぁ....
さておき, もっと簡単です>#2.
A1 < A2 < ... < Ak < A(k+1) より
A1 + A2 + ... + Ak ≦ Σ(i: 1→Ak) i = Ak(Ak+1)/2 ≦ A(k+1)(A(k+1)-1)/2 だし.
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#1さんのご回答に勝手に + ヒント


(1) 途方にくれたら、少ない項数で(小さな n で)調べてみたらどうでしょう。(2)の問題もあるので、等号が成立する条件をいつも頭に入れながらやってみると良いでしょう。それから、与えられた条件を、積極的に目一杯利用することを考えましょう。
A1^2 ≦ A1^3 はいいですよね。等号は A1 = 1 のとき成立
A1^3 + A2^3 - (A1 + A2)^2
= A1^3 - A1^2 + A2 ( A2^2 - 2 A1 - A2)
(A1,A2 が自然数で、かつ、A1<A2 なので、A1 ≦ A2 - 1 だから)
≧ A1^3 - A1^2 + A2 (A2^2 - 2(A2 - 1) - A2)
= A1^3 - A1^2 + A2 (A2 - 1) (A2 - 2)
( A1^3 - A1^2 ≧ 0, A2≧2 より A2 (A2 - 1) (A2 - 2) ≧ 0 なので)
≧ 0
∴ (A1 + A2)^2 ≦ A1^3 + A2^3
等号が成立するのは、A1 = 1, A2 = 2 のとき。なんとなく見えてきませんか?
しつこく、同じように n = 3 の時を試してみると、
A1^3 + A2^3 + A3^3 - (A1 + A2 + A3)^2
= A1^3 + A2^3 - (A1 + A2)^2 + A3 (A3^2 - 2 (A1 + A2) - A3)
     ( A1 ≦ A3 - 2, A2 ≦ A3 - 1 より )
≧ A1^3 + A2^3 - (A1 + A2)^2 + A3 (A3^2 - 2( (A3 - 2) + (A3 - 1)) -A3 )
= A1^3 + A2^3 - (A1 + A2)^2 + A3 (A3 - 2) (A3 - 3)
   ( A1^3 + A2^3 - (A1 + A2)^2 ≧ 0, A3≧3 よりA3 (A3 - 2) (A3 - 3) ≧ 0 なので)
≧ 0
∴ (A1 + A2 + A3 )^2 ≦ A1^3 + A2^3 + A3^3
等号が成立するのは、A1=1, A2=2, A3 = 3 のとき
ということで、与えられた条件、Ai (i=1,...n) が自然数であり、かつ、A1<A2<...<An である、という条件を式の上で目一杯生かすことが肝要で、 Ai ≦ A[k+1] - (k + 1 - i) (i=1,2,...,k) を利用すれば等号が成立する条件も含めて行けそうです。
n = k で成立しているとき、n = k+1 について実際に計算してみると、等号が成立するための条件は、A1^3 + A2^3 + ... + Ak^3 = (A1 + A2 + ... Ak)^2 かつ、A[k+1] = k + 1であることが分かります。

(2)
上で、(A1 + A2 + ... + A[m-1])^2 = A1^3 + A2^3 + ...+ A[m-1]^3 で、かつ、Am = m のときに等号が成立することが示されました。 Am = m ならば、Ai = i (i=1,2,...m-1) ですから、これを代入して
(A1 + A2 + ... + Am)^2 = A1^3 + A2^3 + ...+ Am^3
が本当に成立することを示せば良いでしょう。両辺ともに m^2 (m - 1)^2 / 4 となって成立しますね。
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(A1 + ... + Ak + A(k+1))^2 = (A1 + ... + Ak)^2 + 2(A1 + ... + Ak)A(k+1) + A(k+1)^2


と展開して右辺第2項以降が A(k+1)^3 以下であることを示す. A(k+1) と A1~Ak の関係をうまく使うことに注意.
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