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「ランダム」という言葉について以下の定義を与えます。
s<x<t(ただし、0<s<t<1)なる数xを選ぶ確率をt-sとする
とりあえずこの定義をもとに話を進めます。
ひとつの数を選ぶことにより題意を満たす確率は0です。
ふたつの数を選ぶ場合について考えます。
ひとつめにtを選んだとき、のこりは1-tより大きい数字を選ぶ必要があり、その確率は1-(1-t)=tであるから
二つの数で題意が満たされる確率は
∫[t=0,1]tdt=1/2
次にみっつの数を選ぶ場合について考えます。
ひとつめに1-sを選んだとき、あと2回でsをこえる必要があります。
その確率は上記と同様に
∫[t=0,s](s-t)dt=(1/2)s^2
よって三回で題意が満たされる確率は
∫[s=0,1](1/2)s^2=(1/3!)
以下同様にして、n回目で初めて1を超える確率は1/n!となることがわかります。
よって、求める期待値は
Σ[n=2,∞](1/n!)*n=eとなります。
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