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区間 0<x<1 からランダムに数を一つ選ぶという試行を繰り返し,n回目に選んだ数を a[n] とする。
このとき,a[1] + a[2] + … + a[n] が初めて1を超えるようなnの期待値を求めよ。

もちろん「ランダム」という言葉は適切に定義する必要がありますが,「(0,1)上の一様分布」と考えます。

答えはeらしいのですが、どのようにして求めるのでしょうか?

A 回答 (1件)

「ランダム」という言葉について以下の定義を与えます。



s<x<t(ただし、0<s<t<1)なる数xを選ぶ確率をt-sとする

とりあえずこの定義をもとに話を進めます。

ひとつの数を選ぶことにより題意を満たす確率は0です。

ふたつの数を選ぶ場合について考えます。
ひとつめにtを選んだとき、のこりは1-tより大きい数字を選ぶ必要があり、その確率は1-(1-t)=tであるから
二つの数で題意が満たされる確率は
∫[t=0,1]tdt=1/2

次にみっつの数を選ぶ場合について考えます。
ひとつめに1-sを選んだとき、あと2回でsをこえる必要があります。
その確率は上記と同様に
∫[t=0,s](s-t)dt=(1/2)s^2
よって三回で題意が満たされる確率は
∫[s=0,1](1/2)s^2=(1/3!)

以下同様にして、n回目で初めて1を超える確率は1/n!となることがわかります。
よって、求める期待値は
Σ[n=2,∞](1/n!)*n=eとなります。
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