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F(t) = ∫0→2 |x(x-t)|dx

という式をtの式であらわしたいのですが、
絶対値があるので場合分けとしては

(i) t≦2
(ii) t>2

の二つでいいのでしょうか?
xとの大小関係も気にしないといけないような気がするのですが。

ちなみに、tに関しては何の条件もありません。

A 回答 (2件)

(1) t≦0 のとき、



・           ・

 ・    ・    ・
――t―――0―――2―

F(t)=∫[0,2]{(x^2)-tx}dx
=[(1/3)(x^3)-(t/2)(x^2)][0,2]
=(8/3)-2t

(2) 0<t≦2 のとき、

・           ・

 ・    ・    ・
――0―――t―――2―

F(t)=-∫[0,t]{(x^2)-tx}dx+∫[t,2]{(x^2)-tx}dx
=-[(1/3)(x^3)-(t/2)(x^2)][0,t]+[(1/3)(x^3)-(t/2)(x^2)][t,2]
=-{(1/3)(t^3)-(t/2)(t^2)}+{(8/3)-2t}-{(1/3)(t^3)-(t/2)(t^2)}
=(1/6)(t^3)+(8/3)-2t+(1/6)(t^3)
=(1/3)(t^3)-2t+(8/3)

(3) 2<t のとき、

・              ・

 ・      ・     ・
―――0――2―t――――

F(t)=-∫[0,2]{(x^2)-tx}dx
=-[(1/3)(x^3)-(t/2)(x^2)][0,2]
=-(8/3)+2t
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絶対値がらみの場合分けを考えるときには絶対値をはずすとどうなるか、を基準に考えます。



上記の問題の場合、xが0から2まで変化するとき、x(x-t)の符号がどうなるか、を考えます。

t≦0のとき
x(x-t)は0≦x≦2で常に非負値をとります

0<t<2のとき
x(x-t)は0≦x<tで非正値をとり
t≦x≦2で非負値をとります。

t≧2のとき
x(x-t)は0≦x≦2で非正値をとります。

以上をもとにして、それぞれの場合で絶対値をはずしたら計算することができます。
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