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f(x) = x^3 + 3px + 3q
の関数が増加関数であるための必要十分条件をpを使ってあらわすときは、

f'(x) = 3x^2 + 3p ≧ 0 から

0 - 4*3*3p ≦ 0 ←(1)
-36p ≦ 0

よって p ≧ 0

でいいんでしょうか?とすると、なぜ、判別式を持ち出して
(1)のような不等式を立てるのでしょうか?

よろしくお願いします。

ちなみに、極値を持つための必要十分条件をpを用いてあらわす場合のヒントをいただけるとありがたいです。

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A 回答 (1件)

>>なぜ、判別式を持ち出して


(1)のような不等式を立てるのでしょうか?

3x^2 + 3p ≧ 0
が常に(xがいくつであっても)成り立つための条件です。
判別式がゼロ以下である、ということは
3x^2 + 3p = 0 という方程式の解が
1:重解である
2:存在しない
のいずれかということです。
x^2の係数が正なので、これは下に凸の2次関数ですから、
y =3x^2 + 3p のグラフは負の数を取らないことが分かります。
つまり、3x^2 + 3p ≧ 0 です。


>>ちなみに、極値を持つための必要十分条件をpを用いてあらわす場合のヒントをいただけるとありがたいです。
極地であるための必要条件は1次導関数がゼロなので
3x^2 + 3p = 0 が解を持つ必要がある。 
これは、判別式が非負のときだから、
p≦0.

十分条件は、2次導関数が正(極小値)か負(極大値)であること(つまりはゼロでない)こと。
これは、まず
3x^2 + 3p = 0 を解いて
x = √(-p)
という極地候補を求めておく。
2次導関数は
6x
これが極地候補でゼロにならないためにはpがゼロでなければいい。

したがって、
p>0が必要十分条件になります。
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