板の移動距離

明日の夕方までにとかなければならない物理の問題が数問あります。
お時間の許される方、お力添えいただければ幸いです。

問題１
なめらかな水平面上に長さL、質量Mの板がおいてあり、その右端に体重mの人が立っている。この人が歩いて左端まで来たとき、板はどれだけ動いたか。

No.1 ベストアンサー 回答者： ryumu 回答日時： 2002/10/20 05:04

まず、座標を設定します（物理の問題は座標設定は必ず必要です）。

人が最初に立っている板の右端を、座標０地点とし、左の進行方向を正とします。

”なめらかな”ということは、板は、接地面からの摩擦を受けないということです。

すると、板は（重力以外は）乗っている人としか、力を受けません。

さて、運動方程式を立てるのが勉強のためにはいいのですが、力は人と板の間でしか働かないので、いきなり運動量保存の法則から行っていいでしょう。

ある時の板の速度をＶ、人の速度をｖとし、その時に位置をそれぞれ、ｘ、Ｘとしましょう（人の進行方向を正）。
最初は、人は板の上に立っていたので、初速度は板も人も、０です。
すなわち、運動量保存則から、

　ｍｖ+ＭＶ＝０　・・・（＊）

となります。
ところで、時間をｔと置くと、ある時間幅Δｔの間に、距離Δｘ移動した時の速度ｖは、

　ｖ＝Δｘ/Δｔ

ですから、（＊）式は、

（＊）　＜＝＞　ｍ（Δｘ/Δｔ）+Ｍ（ΔＸ/Δｔ）＝０　・・・（＃）

となります。両辺にΔｔをかけて、

（＃）　＜＝＞　ｍΔｘ + ＭΔＸ　=　０

ここで、ΔｘとΔＸは、人と板が、それぞれ移動した距離で、最初の位置を０としたので、

　Δｘ＝ｘ-０＝ｘ、ΔＸ＝Ｘ-０＝Ｘ

つまり、

（＃）　＜＝＞　　ｍｘ+ＭＸ=０　・・・（＄）

となります。

知りたいのは、人が板の右端から、左端まで歩いた時のＸの値ですよね。

ここで、重要なのは、人は板の上を距離Ｌだけ歩いてるのですから、
必ず人は、板の右端の位置から距離Ｌだけ左に（正方向に）移動していることになります。
すなわち、

　ｘ-Ｘ=Ｌ

という関係が成り立ちます。これにｍをかけて、（＄）との差を取ると、ΔＸが求まります。

向きに注意してくださいね。
ΔＸは負、すなわち右向きに板は動くのです（人が歩く方向と逆・・・作用反作用ですからね＾＾；）。

この回答へのお礼

丁寧な解説ありがとうございました。
これからこのページのプリントアウトしたものをもって出かけてきます。それでは失礼いたします。

お礼日時：2002/10/20 18:10

No.2 回答者： nubou 回答日時： 2002/10/20 16:49

ｔを時間の変数とし

水平面の１点をＰとし
Ｐを原点とした人の重心の位置ベクトルをｒ（ｔ）とし
Ｐを原点とした板の重心の位置ベクトルをＲ（ｔ）とし
板が人に加える力ベクトルをＦ（ｔ）とし
人が板に加える力ベクトルをｆ（ｔ）とし
人が歩き始めた時間を０とし歩き終わった時間をＴとすると

ニュートン第２・３則より
ｍ・（ｄ／ｄｔ）＾２・ｒ（ｔ）＝Ｆ（ｔ）
Ｍ・（ｄ／ｄｔ）＾２・Ｒ（ｔ）＝ｆ（ｔ）
Ｆ（ｔ）＋ｆ（ｔ）＝０

これより
ｍ・（ｄ／ｄｔ）＾２・ｒ（ｔ）＋Ｍ・（ｄ／ｄｔ）＾２・Ｒ（ｔ）＝０
ｄＲ（０）／ｄｔ＝０でありｄｒ（０）／ｄｔ＝０であるから上式を積分して
ｍ・（ｄ／ｄｔ）・ｒ（ｔ）＋Ｍ・（ｄ／ｄｔ）・Ｒ（ｔ）＝０
上式を積分して
ｍ・（ｒ（ｔ）－ｒ（０））＋Ｍ・（Ｒ（ｔ）－Ｒ（０））＝０
従って
ｒ（ｔ）－ｒ（０）＝－（Ｒ（ｔ）－Ｒ（０））・Ｍ／ｍ
条件より｜（ｒ（Ｔ）－Ｒ（Ｔ））－（ｒ（０）－Ｒ（０））｜＝Ｌであるから
｜（ｒ（Ｔ）－ｒ（０））－（Ｒ（Ｔ）－Ｒ（０））｜＝Ｌ
よって
｜Ｒ（Ｔ）－Ｒ（０）｜・（Ｍ／ｍ＋１）＝Ｌ
よって
｜Ｒ（Ｔ）－Ｒ（０）｜＝Ｌ・ｍ／（ｍ＋Ｍ）

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
後ほど、ゆっくり拝見させていただきます。

お礼日時：2002/10/20 18:13