隕石のスピード

二問目です。

問題２
地球の引力圏外を10km/sの速さで地球に向かっていた隕石が地球の引力に捕らえられて地上に落下した。地表に達したときの隕石の速度はどれだけか。ただし、空気による摩擦は無視してよい。

No.3 ベストアンサー 回答者： nubou 回答日時： 2002/10/20 15:35

ｔを時間の変数とし

万有引力定数をＧとし
地球の質量をＭとし
隕石の着地点と地球の重心との間の距離をＲとし
隕石の着地点の重力加速度をｇとし
地球の引力圏外にあるときの隕石の速度の大きさをｖ０（正のスカラ）とし
地球の重心を原点のしたときの隕石の位置ベクトルをｒ（ｔ）とし
地表に着地したときの隕石の速度の大きさをｖとしたとき

隕石の運動は次の方程式に従う
（ｄ／ｄｔ）＾２・ｘ（ｔ）＝－Ｇ・Ｍ・ｒ（ｔ）／｜ｒ（ｔ）｜＾３
この方程式と地球の引力圏外で隕石の速度の大きさがｖ０ということから
｜ｄｒ（ｔ）／ｄｔ｜＾２－２・Ｇ・Ｍ／｜ｒ（ｔ）｜＝ｖ０＾２
ｒ（ｔ）＝Ｒで｜ｄｒ（ｔ）／ｄｔ｜＝ｖであるから
ｖ＝√（２・Ｇ・Ｍ／Ｒ＋ｖ０＾２）
ｇ＝Ｇ・Ｍ／Ｒ＾２より
ｖ＝√（２・ｇ・Ｒ＋ｖ０＾２）
ｇ＝９．８
Ｒ＝６３８００００
ｖ０＝１００００
とすると
ｖ＝１５００１．６
すなわち
答えは１５．０ｋｍ／ｓである

この回答へのお礼

２問も回答していただき、ありがとうございました。こちらのページもプリントして検討させていただきます。

nubouさん、mmkyさんにレスを頂けたこと、とても救われた想いでした。本当にありがとうございます。

お礼日時：2002/10/20 18:21

No.5 回答者： mmky 回答日時： 2002/10/20 17:01

#2です。

＃3で詳しく回答がでましたのでよかったですね。
＃3の指摘のように、
運動エネルギーの加算は（1/2）｛mV0＾2+mV＾2｝だから
速度Vxは、Vx＾2=V0＾2+V＾2　Vx=√（V0＾2+V＾2）でしたね。
だから√Vx＝約15Km/s ですね。
＃2での速度の算出法の間違いは直しておきます。
追伸まで

この回答へのお礼

mmkyさん、レスありがとうございました。
こちらもあとでプリントしたものをじっくり拝見させていただきます。

お礼日時：2002/10/20 18:22

No.4 回答者： nubou 回答日時： 2002/10/20 15:41

ｔを時間の変数とし

万有引力定数をＧとし
地球の質量をＭとし
隕石の着地点と地球の重心との間の距離をＲとし
隕石の着地点の重力加速度をｇとし
地球の引力圏外にあるときの隕石の速度の大きさをｖ０とし
地球の重心を原点のしたときの隕石の位置ベクトルをｒ（ｔ）とし
地表に着地したときの隕石の速度の大きさをｖとしたとき

隕石の運動は次の方程式に従う
（ｄ／ｄｔ）＾２・ｘ（ｔ）＝－Ｇ・Ｍ・ｒ（ｔ）／｜ｒ（ｔ）｜＾３
この方程式と地球の引力圏外で隕石の速度の大きさがｖ０ということから
｜ｄｒ（ｔ）／ｄｔ｜＾２－２・Ｇ・Ｍ／｜ｒ（ｔ）｜＝ｖ０＾２
｜ｒ（ｔ）｜＝Ｒで｜ｄｒ（ｔ）／ｄｔ｜＝ｖであるから
ｖ＝√（２・Ｇ・Ｍ／Ｒ＋ｖ０＾２）
ｇ＝Ｇ・Ｍ／Ｒ＾２より
ｖ＝√（２・ｇ・Ｒ＋ｖ０＾２）
ｇ＝９．８
Ｒ＝６３８００００
ｖ０＝１００００
とすると
ｖ＝１５００１．６
すなわち
答えは１５．０ｋｍ／ｓである

No.2 回答者： mmky 回答日時： 2002/10/20 13:30

参考まで

質量mの物体が地球の重力圏にはいるわけですから受ける力は、
Ｆx＝mgx=GMm/r＾2
地表面到達までに質量mが地球から得た運動エネルギーは、Rを地球の半径として
（-∞～Ｒ）∫Ｆxｄｒ＝GMm/R＝mｇ0R
g0＝GM/R＾2　：重力の加速度ｇ0＝9.8m/s＾2
だから
増加運動エネルギーは、（1/2）mＶ＾2＝mｇ0R
ということで　速度に直すとＶ＝√(2ｇ0R)≡10.8Km/s
（これ脱出速度だっけ？）
mの初速度はV0=10Km/s　でしたからトータルで20.8Km/s
ということかなあ？
考え方の参考までということで

No.1 回答者： kanetsu 回答日時： 2002/10/20 03:54

暇つぶしのコメントです。

隕石の速度がないと、正確な計算は出来ませんよ。（地球重心に向かっているように読めますが、映画じゃないんだからそんなことはあり得ません）

どちらにしろ、この程度の計算を人に頼るぐらいなら、他の学科（場合によっては再受験）した方がいいんじゃないの。

この回答への補足

言わなくても分かると考えてしまいました。失礼しました。
これは、映画でも現実でもありません。ただの物理の問題なのです。

kanetsuさんクラスの方には、容易かもしれませんが私には、隕石の速度がないと計算ができないことすら分かりませんし、kanetsuさんの書込みを読んだだけではその理由を理解することもできませんでした。

それと、何をもって、どの学科だと判断されたのか分かりませんが、私は学生ではありませんし物理学を学んでいこうという意志も参照できるテキストも持ち合わせておりません。物理学に対する知識の浅さと教育レベルが低いのはおっしゃるとおりございますが、それゆえに皆様のお時間とお力を拝借させていただこうと考えた次第でございます。

kanetsuさんクラスの国語能力と想像力の方にもご理解していただけるように、私なりにできるだけ噛み砕いた表現を用いたつもりですが。。ご理解いただければ幸いです。

補足日時：2002/10/20 18:22