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数学のど素人です。
以下の解法を、どなたかご教示ください(涙)

dx/dt=ax-by
dx/dt=bx+ay
x=r・cosθ
y=r・sinθ

とすると、

dr/dt=ar
dθ/dt=b

と、答えが与えられたのですが、
この導き方がさっぱりです。。。
どなたか、ど素人でも理解できる形で
解法をお導き下さい。。。

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A 回答 (4件)

dx/dt=ax-by


dy/dt=bx+ay
x=r・cosθ
y=r・sinθ
だったのですね。


>>>ど素人でも理解できる形で解法をお導き下さい。。。

はい。答えではなく解法をお知りになりたいのですよね?

まず、xとyが邪魔なので、xとyを消去することを考えます。

dx/dt = ax-by
dy/dt = bx+ay

x = rcosT
y = rsinT
をいきなり代入しちゃいます。
(θをタイプするのが面倒くさいので、θの代わりにTと書いてます。)

d/dt rcosT = (rcosT)' = arcosT - brsinT (あ)
d/dt rsinT = (rsinT)' = brcosT + arsinT (い)

(あ)の左辺を計算します。
(rcosT)' = rcosTをtで微分したもの
ここで、積の微分の公式を思い出します。
(fg)' = f'・g + f・g'
つまり、片方だけ微分したもの同士を足し算すればよいわけです。
(rcosT)' = r'・cosT + r・(cosT)'
ここで、合成関数の微分の公式を思い出します。
f = cosT, T=g(t) と置けば、df/dt = dT/dt・df/dT = T'・df/dT
よって、
(cosT)' = -T'sinT
よって、
(rcosT)' = r'・cosT + r・(cosT)' = r'・cosT - r・T'sinT
よって、(あ)は、
r'・cosT - r・T'sinT = arcosT - brsinT
rcosTで割って
r'/r - T'tanT = aT - btanT  (あ’)
となります。

(い)についても同様に、
(rsinT)' = r'sinT + r・T'cosT = brcosT + arsinT
rcosTで割って
r'/r・tanT + T' = b + atanT  (い’)


ここまで来れば、あとは何とかなると思います。



なお、念のために確認。
求める dr/dt とは 上述の式における r' のことです。
求める dθ/dt とは 上述の式における T' のことです。
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この回答へのお礼

いつもありがとうございます。
なるほど!疑問点もなく、理解できました!
嬉しいです!!

数学が必要でまた始めましたが、ブランクが長すぎて適用する公式もわからず、困っていました。しかも、この置き換える方法、とても苦手なんです。。。でも素人が分からない箇所にコメントして頂いていたので、理解できました!!

丁寧なご回答、ありがとうございました。

お礼日時:2008/03/28 10:18

x=r・cosθ


y=r・sinθ
を微分して
x'=r'cosθ-rsinθθ'
y'=r'sinθ+rcosθθ'

x'=r'/r・rcosθ-rsinθθ'
y'=r'/r・rsinθ+rcosθθ'

x'=r'/r x-y θ'=ax-by
y'=r'/r・y+xθ'=bx+ay

(r'/r-a)x-(θ'-b)y=0
(θ'-b)x+(r'/r-a)y=0
r'/r θ'
についてとけば、
r'/r-a=0
θ'-b=0

dr/dt=ar
dθ/dt=b
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この回答へのお礼

回答、ありがとうございます。
流れはなんとなくですが、受け取れました。
しかし、悲しいかな、数学の知識が十分でないので、理解が乏しい状態です。もう少し考えてみます。
ありがとうございました。

お礼日時:2008/03/28 10:09

お礼をありがとうございました。



dx/dt の式が2つあるので、なんか変だな、と思っています。
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この回答へのお礼

あ、なるほど。
見直しが甘かったですね、私。
ご指摘どおりです。
 
(誤)
dx/dt=ax-by
dx/dt=bx+ay

(正)
dx/dt=ax-by
dy/dt=bx+ay (dxをdyへ。)

お礼日時:2008/03/27 08:22

こんにちは。



たぶん、4つの式の中で書き間違いがありますね。
ですけど、
考え方としては、合成関数の微分の式を使うことになるはずです。

すなわち、
dx/dt = dx/dθ・dθ/dt
dy/dt = dy/dθ・dθ/dt
とか
dx/dt = dx/dr・dr/dt
dy/dt = dy/dr・dr/dt

つまり、
dx/dθ、dy/dθ、dx/dr, dy/dr のうちのどれかが、
問題文にある4つの式のどれかから求まるはずなので、
その結果を、上記の式のどれかに代入すればよいです。
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この回答へのお礼

早速のお返事ありがとうございます。

質問欄に記載した条件が、何か足りないのだろう、と思い探しました。
以下の条件を書き忘れていましたが、
それ以外には特に条件らしいものが見当たらないように思います。
(あくまで素人判断ですが。)

n(t)=(x(t), y(t))

上の質問欄の式4つと、今回補足した、この式。
計5つの式から
求める2つの式が導きだされているような文面なのですが、
私が何か見落としているのでしょうか。。。(自信なし。)

お礼日時:2008/03/27 06:35

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