数学では普通わからない数をa,b,x,yなどいろんなもじにおいて表すと思うんですが・・『関数f(x)が区間Iで定義されているとする。aが区間Iに含まれていて適当な正の数δを選べば「a-δ<x<a+δかつx≠aをみたす任意のxに対してf(x)<f(a)」が成立するときf(x)はx=aで極大であるという。』という文を読んで、δはa,b,x,yなどとは違う働きをするのかな??と思えて・・・どうなんでしょう??「δ」って何を表しているのでしょうか?また『』内の文のいみもいまいちわかりません。 教えてください!!!お願いします!!!!

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A 回答 (6件)

δはゼロに一番近い正の値で分かりますか?


そんな数字は数字で表せないから、文字で置いたのです。
0.000000000000001よりも小さく0より大きい数

a-δ<x<a+δかつx≠a

これはxはaよりもほんのわずかだけ小さいか大きいかの範囲にあるということです。xはaのすぐ近くにあると言えば分かりますか?
極大・極小は分かりますか?簡単に言えば、その前後で傾きの符号が入れ替わっているという点です。(正から負が極大、負から正が極小)グラフに書けば上に凸の点が極大、下に凸の点が極小。

a-δ<x<a+δかつx≠aをみたす任意のxに対してf(x)<f(a)」が成立するときf(x)はx=aで極大であるという

これは、aの近辺でf(a)が1番大きければ、f(a)は極大になるということです。
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この回答へのお礼

お礼が大変遅くなりました。ごめんなさい。

お礼日時:2003/12/06 23:40

#3ですが補足です.


あまり深刻な話では無いのですが,
>自分の位置x=aを中心に幅δ(デルタ), つまりa-δ<x<a+δ の範囲(区間)を見渡して
と書いた中の『幅δ(デルタ)』という表現はhalf width(片側の幅)δのつもりでした(aを中心に振幅δの意味). 普通の意味(full width :全幅)でa±δの幅を表すと『全幅2δ』です.
#3では他にも同様の表現を使っているので注意して読んで下さい.
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数学では、アルファベットやギリシア文字、ローマ文字などを使いますが、実は、それぞれの文字は、ある程度、使い分けられています。

数学を学んで日の浅い方は、その使い分けがあまりよく分からないかもしれませんが、勉強を続けていれば、自然に分かるようになってくるでしょう。極値については、高校のときに習ったと思います。高校の数学から大学の数学に替わったときに、戸惑うことの一つは、内容の表現方法の違いにあるかもしれません。大学の数学では、対象の直感的な理解に留まらずに、対象にはっきりとした定義を与えます。極値とは何か?と問われれば、頭の中にグラフを思い浮かべて、山や谷になったところと答えるかもしれません。このとき、もう少し”数学的な”はっきした定義を与えたいところです。そこで、

『関数f(x)が区間Iで定義されている。aが区間Iに含まれ、適当な正の数δを選んだとき、a-δ<x<a+δ, かつ x≠aを満たす任意のxに対して、f(x)<f(a)が成立するとき、f(x)はx=aで極大であるという。』

という定義を考えてみたわけです。あまり”ピン”と来ないかもしれませんが、しばらく熟考してみてください。
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f(a)君が居るとします.



自分の位置x=aを中心に幅δ(デルタ), つまりa-δ<x<a+δ の範囲(区間)を見渡して
[ただしここでは端点x=a±δは含めない],
その範囲では『自分より強いものはいないぞ!』⇔「a-δ<x<a+δかつx≠aをみたす任意のxに対してf(x)<f(a)」が成立する

というとき, 『お山の大将俺一人』⇔「f(x)はx=aで極大である」

ということです.

でも, 幅δをだんだん広げていけば, そのうちもっと強いヤツが現れるかも知れませんね. 世界は広い. だからf(a)君が威張れるためには, 自分より強いヤツが現れない(入ってこない)範囲に限定しないといけないわけです.
だから, 安全を見て普通はδは十分小さな正の値と思っておけばよいでしょう.
でも, 場合によっては,かなり大きな値でもかまわないことも,もちろんあります.
(f(x)=-x^2でa=0なら, δはいくら大きくても良い)

ただし, 見た(ある狭い)範囲内では最大でも, 定義域全体でみて最大とは一般の関数では必ずしも言い切れないわけです. (例: f(x)=x^3-3x は極大値をもつが,最大値は無い.)
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δはおそらく微小の数です。

この話は習ったことが無いので、名前は知りません。
この書き方は正しくありませんが、
δ=1/∞
と思っていいかもしれません。
ただし、δは0ではありません
a-δ<x<a+δというのは
xがaの近辺にあるときではないでしょうか
aの近辺でf(x)<f(a)ということは、aの近辺でf(a)は一番多きいのですから、f(a)は極大となります。

例えばxの3次関数でいうと、極大の辺りしか見ていません。
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こん**は。



「δ」は「デルタ」ですよね?つまり微小な数を表しています。
まあ、この場合あまり深く考えずにおいても(ある数bと考えても)問題ないかと思うのですが・・・。

続いて、『』内ですが、もう少し具体的に考えて、たとえば、

2-δ<x<2+δかつx≠2を満たす適当なxの値で、f(x)<f(2)が成立すると考えるとわかりやすいのでは?

x=2のとき以外は、xに何が入っても指定区間内ではf(2)より小さいんですから、f(x)はx=2のときに最大値をとります。

これをややこしく(数学的に)いうと、f(x)はx=2で極大であるという。となります。

参考になりましたでしょうか?
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