f(z) = e^x / ((z-1)(z-2)) はz=2を1位の極にもち、
f(z) = 1/(z^2(z-1)) はz=0を2位の極に持つらしいのですが、

例えばf(z) = 1/(z^2(z-1)) なのですが、z=0を考えるときに、
分母のz^2 以外のzに0を入れるイメージで定数化してしまい、
f(z) = - 1/z^2 という形を考えてz=0を2位の極と考えるのでしょうか?
それともこういう考えは誤りで、ローラン展開をしっかりと
やる必要があるのでしょうか?

A 回答 (1件)

>分母のz^2 以外のzに0を入れるイメージで定数化してしまい、



そういうことです.ただし定数じゃないので
定数にしてはいけませんが,
「定数化」は言葉のあやだと解釈しておきます.

一変数の複素関数は
極や零点が孤立してるので,
その近傍で考えるときにはそれ以外の点は
挙動に影響しません.
そのうち「芽」(germ)という概念を習うでしょうが
これがその概念の基本になります.

けど,最初のうちは練習もかねて計算しておくことをお勧めします.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
読んだ資料に簡単に○○位とか説明されていたので、
ローラン展開しなくても、簡単に考えていいのかな?
と思いました。

はい。複素関数論が着実に身につくまで、
きちんと展開もしてみたいとおもいます。
ありがとうございました。

お礼日時:2008/04/14 22:54

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で定義され、リュカ数列L[n]は、
L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

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↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf

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