マンガでよめる痔のこと・薬のこと

こんばんは。
よろしくお願いいたします。

放物線y=2x^2を平行移動したもので、点(2,4)をとおり、頂点が直線y=2x-4上にある二次関数を求めよ。

という問題です。
y=2x-4をどのように式に入れたり、利用したりするのかわからずずっと考えています。y=2x^2にy=2x-4を代入してみたりしましたがうまくいきませんでした。

数学が苦手で未熟者ですが、一生懸命頑張りますのでよろしくお願いいたします。

A 回答 (3件)

こんばんは。



まず、放物線y=a x^2をx軸方向にt、y軸方向にsだけ平行移動すると、y=a (x-t)^2+s になること、
そして、放物線y=a (x-t)^2+sの頂点の座標は(t,s)となること、
はご理解されていますでしょうか。

以上のことを理解されていることを前提に解説いたします。


まず、この手の「放物線の式を求める」問題。
放物線の式 y=ax^2+bx+c から、頂点を求めることをこれまでに勉強されたと思いますが、いかがでしょうか。

今度はその頂点を求める作業を反対にすれば、元の放物線の式が求められるのです。


では、「頂点はどこなんだ」ということになりますね。
そこで、問題文を読んでみますと、「直線y=2x-4上にある」と書いてあります。

つまり、頂点P(と呼びます)は、(点Pのx座標とy座標の位置が)y=2x-4を満たす座標にあるのです。

ですから、適当に頂点Pのx座標をtとしましょう(mでもsでも適当な文字でいいです)。
すると、頂点Pのy座標は「y=2x-4」の関係から 2t-4 となりますね?

これで、頂点Pの座標を決めることができました。
 P(t,2t-4) です。

ここまではよいでしょうか? では続けます。


さて、頂点が(仮の形ですが)求まりましたので、これを平行移動させた式に代入します。

放物線y=a (x-t)^2+sの頂点の座標は(t,s)でしたから、
頂点P(t,2t-4)のときは、

 y=a (x-t)^2+2t-4
となりますね。

おっと、忘れていました。
この放物線(2次関数)は、「放物線y=2x^2を平行移動したもの」という設定でした。すなわち、a=2というのは変わりません。

ですから、先ほどの式は結局、
 y=2(x-t)^2+2t-4
というところまで求めることができます。


ここまで行けばもうゴールまでもう少しです。

上の放物線 y=2(x-t)^2+2t-4 は、点(2,4)を通るのですから、
x=2、y=4を放物線の式へ代入するわけです。


代入します。
 4=2(2-t)^2+2t-4
  =2(t^2-4t+4)+2t-4

移項させて、
 2t^2-8t+8+2t-4-4=0

両辺を2で割って計算します。
 t^2-3t=0

共通因数tでくくります。
 t(t-3)=0

ゆえに、t=0,3


最後に、求められたtの値を代入して放物線の式を求めます。

(i)t=0(頂点Pの座標が(0,-4)のとき)
 y=2x^2-4

(ii)t=3(頂点Pの座標が(3,2)のとき)のとき
 y=2(x-3)^2+2・3-4
  =2(x-3)^2+2    ←ここまででもよい
  =2x^2-12x+20    ←問題文によってはここまで書く


以上です。
また何かあれば、補足で説明します。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

すごくわかりやすくておかげさまで頑張れそうです。
本当にありがとうございました!!

お礼日時:2008/04/16 22:42

放物線の性質



*形状はx^2の係数で決まる。
[>この問題ではy=2x^2を平行移動したものとなっていますから、
答えもx^2の係数は2です(平行移動しても形状は変わらない)。

*頂点が点(p,q)の放物線はy=a(x-p)^2+qで表される。
[>上でa=2 (x^2の係数が2)と決まっていますから
 求める放物線はy=2(x-p)^2+q


あとは条件を使うだけです。
*点(2,4)をとおり
[>4=2(2-p)^2+q

*頂点が直線y=2x-4上にある
[>q=2p-4

あとは以上2式を連立して解くだけです。
4=2(4+p^2-4p)+q
=2(4+p^2-4p)+2p-4

0=p^2-3p
=p(p-3)


p=0、q=-4 、頂点(0,-4)のとき
 y=2x^2-4

p=3、q=2、頂点(3,2)のとき
 y=2x^2-12x+20

となります。
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この回答へのお礼

ありがとうございました
とても参考になりました☆

お礼日時:2008/04/16 22:43

もとの関数の頂点が(0,0)なので、平行移動後頂点がy=2x-4にある場合、平行移動後の関数の頂点は(a, 2a-4)となります。


あとは頑張って下さい。
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この回答へのお礼

ありがとうございました
。とってもわかりやすかったです。
頑張ります♪

お礼日時:2008/04/16 22:41

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