ちくのう症(蓄膿症)は「菌」が原因!?

j(x)=exp[-1/1-|x|^2],|x|<1
0,|x|≧1
が与えられたときに、この関数が無限回微分可能とはどのように証明したらよいのでしょうか?
お願いします。

A 回答 (2件)

>その、無限回微分可能の証明の方針がわかりません・・・


当然、イキナリ無限回は無理だから、1 階微分可能であること、2 階微分可能であること、…
と順に進めば方針が見えてくるでしょう。
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無限回微分可能であることが自明でない点を考える。

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この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございます。
方針としてはその自明でない点を考えて、その点で無限回微分可能ということを示せばいいんでしょうか?
その、無限回微分可能の証明の方針がわかりません・・・
お願いします。

お礼日時:2008/04/14 01:48

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Q一様連続でないの厳密な証明は?

微分積分の期末テストで次の問題が出ました。

次の命題の正誤を答えよ。ただし理由も与えること。

命題:関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続である。

この問題で自分は次のように解答しました。

(証)αを与えられた区間内の任意の要素とし、εを任意の整数とする。

あるδとしてmin.(ε/2|α|+1,1)とする。

このとき|x-α|<δ⇒|f(x)-f(α)|=|x^2-α^2|=|xーα|・|x+

α|<・・・・・(略)<δ(2|α|+1)<ε

となり、故にf(x)=x^2は区間[0,∞)で一様連続でない。(なぜなら、δがε

だけでなくαにも依存するから)

この解答で一応マルはもらえたのですが、はじめにδを上のようにしたものだけを考

えていい理由は何なんですかね?もしかしたらεだけでδを表せるかもしれないの

に。考えてはみてるんですがなかなか納得のいく答えが見つかりません。よかった

ら力になってください。よろいくお願いします。

Aベストアンサー

ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の問題(ε-δの応用問題は大体そうです)
を考える時は命題を論理式で書いておくと証明すべきことが見やすくなります。
まず「関数f(x)が区間[a,b)で連続である」を論理式で書くと
∀ε>0 ∀α∈[a,b) ∃δ>0  ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)
でしたね。つまりこの場合δはεとαの両方に依存しても構わない。
一方「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続である」を論理式で書くと
∀ε>0 ∃δ>0 ∀α∈[a,b) ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)……(1)
となります。変数δとαに関する記述の位置が入れ替わっていることに注意して下さい。
この場合δはεだけに依存します。
そして「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続でない」という命題はこれの否定命題ですから
∃ε>0 ∀δ>0 ∃α∈[a,b) ∃x(|x - α| < δ かつ |f(x) - f(α)| ≧ ε)……(2)
となります。(論理式の変形規則についてはご存知でしょうね)

つまり「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことを証明するためには,具体的なεと任意のδをとってきてそのε,δの組に
対して(2)式の括弧内の条件を満たすようなα,xがとれることを示せば良いのです。
これを示しましょう。

ε=1/2とし,任意のδを1つ固定し, α≧ 1/(2δ) とします。
x= α+(δ/2) とするとxは(1)式の前提条件
|x - α| < δ を満たします。しかし
|f(x) - f(α)|= |x^2 - α^2| = | (α+(δ/2))^2 - α^2 |= | αδ + δ^2/4 |≧ 1/2 =ε
ですから一様連続でないことがいえました。          ■

証明が間違っているにも関わらず先生が○をくれた理由は推測するしかありませんが
(1)一応「一様連続でない」という結論はあっているので、
証明も正しいものと勘違いした
(2)実は先生もわかってない(まさかね^^;)
(3)一応「一様連続でない」という結論はあっていることと
証明を読んで(間違いではあるものの)一様連続性についても
一応は理解しているものと判断して○にした。

というところが考えられますが本当のところ先生に聞いてみた方が良いでしょうね。

ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の...続きを読む

Qf(x)=0はxで微分可能か

松坂さんの『線形代数入門』という本で
p84例3.17に
全ての実数tに対して定義された無限回微分可能な実数関数全体の集合をVとすれば、VはR上のベクトル空間である。というものがあります。

そこで、全ての実数tに対して定義された無限回微分可能な実数関数の例として
sintやcost、e^tなどがあがりますが、その全体の集合VがRベクトル空間であるならば、それは0を要素としてもたなければいけません。だとすると、全ての実数tに対して定義された無限回微分可能な関数としてf(t)=0も入るとしなければおかしい気がします。

また微分の定義から、f'(t)=lim(h→0){f(t+h)-f(t)}/hで
0を微分したら0という結果が得られます。

また0が無限回微分可能であるとすると、全ての実数係数の多項式は無限回微分可能ということになります。

このように考えたら0は微分可能であると考えられるのですが、正しいのでしょうか?

Aベストアンサー

はい。f(x)=0を初め、全ての定数関数、全ての実係数多項式関数は無限回微分可能です。
実のところ、これらを含め質問の例に挙げられた三角関数や指数関数などは全て解析関数(実解析関数)という無限回微分可能な関数より狭いカテゴリーに属します。
# (参考)解析関数: http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E9%96%A2%E6%95%B0

Q無限回微分可能

iを虚数
(x,x*)∈R^2かつx^2+x*^2<1とします。

このとき
f(x)=Σ(p=1~∞) ( (x+ix*)^p + (x-ix*)^p )
がx,x*について無限回項別微分可能ということの証明を考えています。

項別微分可能ということは把握しておりまして、
無限回項別微分した時にf(x)が収束するということの証明でつまっている状態です。

どなたか証明をよろしくお願い致します。

Aベストアンサー

これまでの解釈が外れてなければ、
>(1) は 2*Re(z^p) に相当するので、z が単位円内でも発散しそうな気配。
は杞憂らしい。

Σの各項は z^p + (z~)^p = 2*Re(z^p) に相当するから、
f(x) = Σ(p=1~∞) (2*Re(z^p)) = 2*Σ(Re(z^p))
であり、z = r*e(iθ) として、
 f(x) = 2*Σ(r^p)*cos(pθ)

z が単位円内ならば r < 1 だから、Σは収束しそう。
  

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q収束するから有界??

数列Anが収束するので、lim(n→∞)An=0
より、{An}は有界であるとあったのですが、どうしてそうなるのでしょうか?また{An}が有界だとどうして{An+1}も有界なのでしょうか?教えてください。

Aベストアンサー

>A_nはいくらでも小さくできる

|A_n -A|はいくらでも小さくできる
と訂正してください。
ついでに、
>An}が有界だとどうして{An+1}も有界なのか
ですが、これは明らかでしょう。このことは小学校1年生にもわかる論理だと思いますが。{An}の上界をkとすると、{An+1}の上界はk+1になりますね。このことはこれ以上説明の余地がありません。

Qx = 0 で 1になる、無限界連続微分可能関数

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7051004.html
に回答しようとしてふと思ったのですが、

・無限界連続微分可能で、
・f(0)=f'(0)=f''(0)=.... = 1
となる関数は、f(x) = exp(x) に限られるのでしょうか?

少なくとも、x = 0 の近傍では、f(x) は、exp(x) に等しくなる気がします。
だったら、x = 0 から離れたところで、f(x) = exp(x) と、なめらかにつながるような、別の曲線を考えれば、それが反例になりそうですが、どうも、「つないだ」ところで、無限界連続微分可能ではなくなる気もします。

どんなものでしょう?

Aベストアンサー

実解析的(すなわちTaylor展開が可能であること)と無限回連続微分可能性は異なりますのでまず近傍でe^xになることは言えません。
f(x)-e^xを考えることにより原点においてすべての階の微分係数が0であるとしてよいです。
原点の近傍で0でない関数ですべての微分係数が消える関数は例えばe^{-1/x}(x>0)、0(x≦0)があります。
もちろんこの他にもたくさんあります。


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