出産前後の痔にはご注意!

☆ f(x)=6/sinx+sinx/x を 0<x<2π(xはπ/2、π、3/2πならず)の範囲での、
  f'(x)は?また、f(x)の極大値、極小値、その時のxを求めよ。

☆ f(x)=1/x+1/x^2-1/x^3の極小値は?またax^3-x^2-x+1=0の実数解の
  個数が1個であるときの定数aの値の範囲を求めよ。

こんな問題なんですけど、f'(x)を求める段階で、とまどってます。
詳しく教えてください。お願いします!

A 回答 (4件)

#3です。


f(x)=6/sinx+sinx/cosxだったのですか。
どうりで解けないわけだ。
{f(x)/g(x)}'={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/{g(x)}^2
というのはわかるのですよね。
{6/sinx}'=-6{sinx}'/{sinx}^2=-6cosx/sin^2x
{sinx/cosx}'={tanx}'=1/cos^2x
あるいは
{sinx/cosx}'={(sinx)'cosx-sinx(cosx)'}/(cosx)^2=(sin^2x+cos^2x)/cos^2x=1/cos^2x
sin^2x+cos^2x=1は分かりますよね?
よって
f'(x)=-6cos/sin^x+1/cos^2x
通分して、
f'(x)=、(-6cos^3x+sin^2x)/(sin^2xcos^2x)

f(x)が極大、極小となるのはf'(x)=0の時だから、
-6cos^3x+sin^2x=0となる。
-6cos^3x+1-cos^2x=0
6cos^3x+cos^2x-1=0
(2cosx-1)(3cos^2x+2cosx+1)=0
3cos^2x+2cosx+1>0より
(2cosx-1)=0
cosx=1/2
よって
x=π/3,5/3π
後は増減表を書いて下さい。
sin^4xが出てこない・・・。
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この回答へのお礼

おぉ~!なぜsin^4xが出てきたのか・・・
それは、sin^x+cos^2x=1としていなかった・・・
そのままsin^2xにsin^2xをかけていました!
すいません!ありがとうございました☆

お礼日時:2002/11/04 22:08

回答ではありません。

(アドバイスでもないですが)
☆1つ目の問題について、
その時のxを求めよということですが、パソコンで求めたら、ラジアンではありませんが、極小となるのは約93.9°で、極大となるのが約270.4°でした。求まるのでしょうか?それから、#1さんへの補足にsin^4が出てきたとありますが、私の計算では出てきませんでした。私の計算では
f'(x)=(-6x^2cosx-xcosxsin^2x+sin^3x)/(x^2sin^2x)
となりました。極大、極小を求めるには
-6x^2cosx-xcosxsin^2x+sin^3x=0を解けば良いのですが、解けませんでした。これを解けば、xはπ/2より、ちょっと大きい値と3/2πよりちょっと大きい値を取ることになると思うのですが、

この回答への補足

1つめの問題間違えました・・・。
f(x)=6/sinx+sinx/cosxでした・・・。
そこでsin^4xが出てくるんです。
最終的な答えは、(-6cos^3x+sin^2x)/(sin^2xcos^2x)
です。そこまでの過程を詳しく教えてください!

補足日時:2002/11/04 17:44
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☆二つ目の問題



f'(x)=-1/x^2-2/x^3+3/x^4 となるのはいいですか?一つ一つ微分します。
=(-x^2-2x+3)/x^4
={-(x+3)(x-1)}/x^4

これよりf'(x)=0となるのはx=-3,1のとき

あとは増減表を書いてみましょう。xは0にならない事に注意!!

x=-3のとき極小値-5/27、x=1のとき極大値1 となります。

次にax^3-x^2-x+1=0を変形すると、
a=1/x+1/x^2-1/x^3となるので、グラフを書いてy=1/x+1/x^2-1/x^3とy=aが1点で交わるためのaの範囲を求めればよいです。

やってみて下さい!
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分数形の関数の微分法についてはしていますか?


d f(x) f'(x)g(x)-f(x)g'(x)
--- ---- = --------------------
dx g(x) g(x)^2
となります。これを用いれば1つ目は簡単にできますよね。

2つ目も、(x^n)'=nx^(n-1)がすべての実数nで成り立つので微分はできると思います。
方程式の方は、a=・・・の形に変形し、グラフを書けば分かると思いますよ。

この回答への補足

公式はもちろんわかったうえでの質問です。
ですが、途中で、sin^4が出てくるんです・・・
そこがどうしたらよいやら・・・

補足日時:2002/11/04 15:41
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