「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

物理の積分なんですが、a=加速度、v=速度、t=時刻を表すとして、
今a=dv/dt⇔dv=adtが成り立っているとします。この両辺を積分するとv(t)=at+C (Cは積分定数)
になるみたいなんですが、これが理解できません・・。
不定積分Cはわかりますが、d/dtはtについて微分しろってサインですから、これをtについて積分すればなくなりますよね?
すると右辺だけ積分したものはvになり、これと同じ処理をして等号を維持するにはaを積分して、加速度の積分=速度と習ったので実行すると、v=vになってしまいわけがわかりません・・・。
ご教授お願いします。

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A 回答 (3件)

仰っていることをフォローすると


>すると右辺だけ積分したものはvになり、

a=dv/dt→∫(dv/dt)dt=∫dv=v

>これと同じ処理をして等号を維持するにはaを積分して、加速度の積分=速度と習ったので実行すると、v=vになってしまい

∫adt=v

ということだと思います。この展開は間違いではないですが、

>加速度の積分=速度

をただ単に適用しただけですから、v=vで当たり前となってしまいますね。∫adtの積分を実行しなくては。つまり今の場合加速度aは時間に依存しない定数(等加速度運動)を考えられますから∫adt=a∫dtと積分緒外に出せます。これを実行すると∫adt=a∫dt=atとなりますね(積分定数は省いています)。
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a=dv/dtは定義です。

訳せば「加速度は速度の微分」。
これから直ちに、∫adt=vです。訳せば仰る「加速度の積分は速度」。
これら2つは積分定数を除いて同じなので、∫adt=vを2回使ってv=vとしてしまっているだけで、当然の結果ですね。
いかがでしょうか。
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> 加速度の積分=速度と習った


それを式で表そうとしてるところなんですから、勝手に置き換えちゃだめですよ。

「dv/dt=a」をtで積分すると、「v=∫a dt」 になります。
この式の意味は「a(加速度)を積分するとv(速度)になる」(「加速度の積分=速度」である)ということです。

この加速度aが定数の時は、右辺の積分が計算できて「v=at+C」になります。
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Q加速度を積分すると速度・・・

加速度aを時間tで積分すると速度が出てきて、その速度vを時間tで積分すると位置が出てきますよね。
そのときの初期条件の設定の仕方はがわかりません。
詳しく教えてください。

Aベストアンサー

加速度aを時間tで積分すると積分定数が出てきますよね。それが初速度となります。
次に速度vを時間tで積分すると、また積分定数が出てきます。それが基準点である位置となります。

例えば、ある物体が時刻t=0(s)のときの加速度a=6(m/s^2)、初速度v=10(m/s)、位置x=1(m)の状態のとき時刻tにおける速度、位置を求めよ、という問題があったとします。

vはaを時間tで積分してv=6t+C(Cは積分定数です)となります。
このときのCが初速度10となります。
なので時刻tにおける物体の速度vはv=6t+10(m/s)となります。

次にさきほど求めたvを時間tで積分して、時刻tにおける物体の位置を求めます。
v=6t+10を時間tで積分するとx=3t^2+10t+C’(C’は積分定数です)となります。
このときのC’が物体がはじめにあった位置1となります。
なので時刻tにおける物体の位置xはx=3t^2+10t+1(m)となります。

Q運動方程式の微分積分の計算

 運動方程式の微分積分の計算方法がわかりません。詳しく教えてもらえると嬉しいです。よろしく、お願いします。以下はテキストの抜粋です。

m・dv/dt = F(r)
両辺に速度 v=dr/dt をかけると
mv・dv/dt = F(r)・dr/dt
となる。ここで、
v・dv/dt = d/dt(1/2v^2)  ← この式変形が、分かりません。1/2も不明です。
と変形できるので、上の式は
d/dt [1/2 mv^2(t)] = F・dr(t)/dt

Aベストアンサー

積の微分の公式
(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
をつかっているだけです。

v^2=v・v
v'=dv/dt

です。

d/dt(v^2)=(v^2)'=(v・v)'=v'v+vv'=2vv'=2v・dv/dt

だから、

v・dv/dt=1/2・d/dt(v^2)=d/dt(1/2v^2)

でしよう。


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