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100の101乗と101の100乗ではどっちが大きいでしょう?
という問題があるのですが
数学的な解法でトライしていますが
対数など使いましても
すっきりでません
対数表など 手計算 電卓など 使わずに求める方法
教えてください

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A 回答 (13件中1~10件)

もっと一般化して3以上のすべての整数nについて


n^(n+1)>(n+1)^nが成り立ちます。
これを数学的帰納法を使って示します。(途中の計算を一部省略しています。)

(1)n=3のとき 3^4=81  4^3=64  よって明らかに成り立つ

(2)n=kのとき (k≧3) 
              k^(k+1)>(k+1)^k   …(1) が成り立つと仮定する
 n=k+1のときの(k+1)^(k+2)>(k+2)^(k+1) …(2) が成り立てばよい

(1)(2)の不等式の両辺は正だからそれぞれ左辺、右辺どうしの比を考える。
左辺どうしの比 (k+1)^(k+2)/k^(k+1)=(1+1/k)^k・(k+2+1/k)
右辺どうしの比 (k+2)^(k+1)/(k+1)^k=(1+1/(k+1))^k・(k+2)

ここで 1+1/k>1+1/(k+1)だから(1+1/k)^k>(1+1/(k+1))^k …(3)
また  k+2+1/k>k+2                …(4)        
(3)(4)から 左辺どうしの比>右辺どうしの比
したがって n=kのとき(1)が成り立つと仮定すれば、n=k+1のときの(2)も成り立つ

(1)(2)より、3以上のすべての整数nについてn^(n+1)>(n+1)^nが成り立つ
よって100の101乗>101の100乗
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y=logx上の点(e,1)における接線は原点を通る。


従って、x≧eのとき、原点と(x,logx)を通る直線の傾きはxが増加する
につれて減少する。
すなわち、
e≦x<yのとき、
logx/x>logy/y
である。
これより、
ylogx>xlogy
logx^y>logy^x
x^y>y^x・・・☆
が成り立つ。
e<100<101なので、
100^101>101^100
である。
他にも有名なものとして、e<πなので、
e^π>π^e
が成り立つ。
e以上のところでは、一般に☆の式が成り立つので、覚えておくと
よいと思います。
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証明にはなってませんが、考え方です。



A=100^101、 B=101^100 とおいて、比B/Aを考えます。
B/A = (101/100)^100 ÷ 100 ですね。
(101/100)=1.01 でこれを100回かけても100にはなりません。
なので、A>Bです。

じゃあ、なぜ、1.01^100 が100以下なのか?
1.01 = 1 + 0.01 と考えて、 (1+a)^n = 1 + na + .... と二項定理を使って展開すれば、n=100 ですので、101項になりますね。
各項が1以下であること、最後の2項の和も1以下であることから、100以下であることがわかると思います。
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#9のご回答をヒントに少し修正したものを書かせて貰います。



(101)^100/(100)^101
=(1/100)(1.01)^100
です。
A=(1.01)^100<100
を示すことが出来ればいい事になります。
2<A<3は割合と簡単に示すことが出来ます。
2項展開を使います。
A=(1.01)^100=1+1+0.99/2+(0.99/2)(0.98/3)+(0.99/2)(0.98/3)(0.97/4)+・・・
+(0.99/2)(0.98/3)(0.97/4)・・・(0.01/100)
A>2は明らかです。

A<1+1+1/2+(1/2)(1/3)+(1/2)(1/3)(1/4)+・・・
<1+1+1/2+1/4+1/8+・・・
=3


少し近似を進めれば
2.65<A<2.71
であることを示す事も出来ます。

こういうのは手計算ということになりますか。
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二項定理がわかれば、



100^101=100^100*100
要するに、100^100を100個足したもの。

101^100=(100+1)^100
これを展開する(二項定理)と、
100^100+100*100^99+100*99/2*100^98+100*99*98/(2*3)*100^97+・・・+100*99/2*100^2+100+1
全部で101項の足し算で、はじめの2項は100^100、3項目からは100^100より1以上小さい項が98項、最後が1だ。
だから、101^100は、100^100を100個足したものすなわち、100^101より小さい。
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#2です。

少し計算を減らして書いて見ましょう。
C[n,r]=n!/r!(n-r)!としておきます。

I=101^100/100^101

とする。

I=1.01^100 /100=(1+0.01)^100 /100
={C[100,0]+1/100 *C[100,1] + 1/100^2*C[100,2] +・・・}/100
=1/100*Σ[k=0→100]1/100^k*C[100,k]

ここで

C[100,k]/100^k=100/100*99/100*98/100*・・・・*(101-k)/100 /k! ≦ 1 (等号成立はk=0,1の時)

また、

C[100,98]/100^98+C[100,99]/100^99+C[100,100/100^100 < 2

より

I<1/100 *1*100=1

よって101^100 < 100^101

趣旨は2項展開した時、1以下の数字を101個足すことになりますが、
その内、最も小さいものを3つ足しても2より小さいので101個の足し算は100より
小さくなることを言っています。
これでも手計算は入っていますが。。。
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100の101乗を 100^101と表記することにします。

また、* は2数をかけることを意味します。

100^101=100*100^100
101^100=(100+1)^100=100^100+M (Mはある数)です。

100^101-101^100=(100-1)*100^10-M=99*100^100-M となりますが、明らかにMの次数(10の何乗かということ)は 99*100^100の次数より低いですから、この値は正数であることがわかります。頭の中でもこれくらいの計算は可能かと思いますが。
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対数をとれば一目瞭然。


a=100^101
log(a)=101*log(100)
b=101^100
log(b)=100*log(101)

log(a)=101*2=202
log(b)=100*2.004=200.4

a=10^202
b=10^200.4

従ってa>b
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近似式を使う


一次近似 (x+a)^n = x^n + nx^{n-1}a
二次近似 (x+a)^n = x^n + nx^{n-1}a + n(n-1)/2 x^{n-2} a^2

(101)^100 = (100+1)^100
= 100^100 + 100^99 + 100*99/2 100^98 + ・・・・
= 10^200 + 10^196
10^200 以外のところはちょっと考えればわかるけども
10^200にくわえても桁があがるほどの影響力はない
だから,
(101)^100は199桁

そして
100^101 = 10^202 つまり 201桁

だから
100^101 の方が大きい

ちなみに101^100は

27048138294215260932 67194710807530833677
93838278100277689020 10491171015143067392
79439456014346744590 97335651375483564268
31251928176683242798 04963223296500552179
77882315938008175933 29188566748424951000
1

です
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どういう手法を試したのか分かりませんが


100の100乗と101の100乗の桁数を比較すると
…意外と同じなんです

 100^100=1×10^200
 101^100=(100+1)^100=(中略)=1×10^200+○×10^○○+○×10^○○
これを計算して桁数を比較してください(高校生レベルですがちょっと考えると中学生でも計算できますね)

では 100^101 はと言うと…
 100^101=(100^100)×100
ですから
 1×10^202
100^100よりも桁数が2つ多くなりますね

はい、答えが出ました
途中で省略した部分を自身で導いて計算することで回答が完成です
がんばって導き出して計算してください
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となります。

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