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下のような線形フィードバックシステムがある。V(t)は、外乱である。

t≧0では、X(t)=X V(t)=Vでいずれも一定、またt<0ではいずれも0とする。

また伝達関数 g(n)=e^-αn (α>0),K(L)=K(一定)とする。

このシステムをラプラス変換することにより、y(t)を求めよ。

                  v(t) 
  +              ↓ +
X(t)→○→  g(n)  ------○----→y(t)
  -↑            +   ↓ 
   ↑              ↓  
   ↑              ↓
    ↑←← K(L)←←←←←←


本当は、g(n)、K(L)は、□で囲まれています。
うまく表現できませんでしたので省きました。お願いします。

分かりずらいかもしれませんがお願いします。
参考URLなどもありましたらお願いします。 

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A 回答 (4件)

#1の補足です


g(n)=e^-αnがe^-αntタイプミスなら
#2のかたのようにG(s)=1/(s+αn)

U(t-ατ)のようなムダ時間要素の意味ならば
G(s)=e^-αns
わたしは線形ということから、ただの定数としています。
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#2です。

「おっと!」やはりずれてました。
ごめん
s平面に変換した図面だから
K→K(s)=K/s が正しいね。
訂正します。

  G(s)(X(s)-K(s)Y(s))   V(s) 
  +       ↓   ↓ + ↓ G(s)(X(s)-K(s)Y(s))+V(s)
X(s)→○→  G(s)  ------○----→Y(s)
  -↑ ↑(X(s)-K(s)Y(s)  + ↓ 
   ↑            ↓Y(s) 
   ↑K(s)Y(s)        ↓
    ↑←←  K(s) ←←←←←←

G(s)(X(s)-KY(s)/s)+V(s)=Y(s)
Y(s)=s{G(s)X(s)+V(s)}/s+KG(s)
定義と命題により、
X(s)=X/s V(s)=V/s K(s)=K/s
G(s)=1/s+αn
Y(s)=s{(1/s+αn)(X/s)+(V/s)}/1+((K/s+αn)
Y(s)={X+V(s+αn)}/(s+αn+K)
Y(s)を逆変換すればOKです。
この式だと変換すれば、
Y(t)=C1exp-(αn+K)t
s=-(αn+K), C1=X+V(-(αn+K)+αn)=(X-VK)
Y(t)=)=(X-VK)exp-(αn+K)t
式や記号,計算式などは確認してみてください。
再度ずれてたらごめんだけど、
考えかたの参考までだね。
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#1でポイントは出てますので、


考え方まで

  G(s)(X(s)-KY(s))   V(s) 
  +       ↓   ↓ + ↓ G(s)(X(s)-KY(s))+V(s)
X(s)→○→  G(s)  ------○----→Y(s)
  -↑ ↑(X(s)-KY(s)  +↓ 
   ↑            ↓Y(s) 
   ↑KY(s)          ↓
    ↑←←  K ←←←←←←

G(s)(X(s)-KY(s))+V(s)=Y(s)
Y(s)={G(s)X(s)+V(s)}/1+KG(s)
定義と命題により、
X(s)=X/s V(s)=V/s
G(s)=1/s+α
Y(s)={(1/s+α)(X/s)+(V/s)}/1+((K/s+α)
Y(s)={X+V(s+α)/s(s+α+K)}
Y(s)を逆変換すればOKです。
この式だと変換すれば、
Y(t)=C1+C2exp-(α+K)t になるかな。
s=0,
C1=X+Vα/α+K
s=-(α+K),
C2=-(α+K)V+(X+Vα)/-(α+K)
=1-{(X+Vα)/(α+K)}
f(t)=(X+Vα/α+K)+{1-((X+Vα)/(α+K))}exp-(α+K)t
式や記号などは確認してみてください。
ずれてたらごめんだけど、
参考まで
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Y=G/(1+GK)・X/S+1/(1+GK)・V/S



単位関数をu(t)であらわして

y(t)=g/(1+gk)・xu(t)+1/(1+gk)・vu(t)
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