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e^(x^3) * (dy/dx + 3 * x^3 * y) = 6 * e^(x^3)

d/dx (e^(x^3) * y) = 6 * e^(x^3)
に、

e^(x^2) * y' + 2xy * e^(x^2) = e^(x^2)

(ye^(x^2))' = e^(x^2)
になるそうなのですが、

この途中のプロセスがわかりません。
詳しい計算の方法を教えてください。
よろしくお願いします!

A 回答 (4件)

みんなの回答があるけど、蛇足で


左辺ですね。
d/dx (e^(x^3) * y) ですか。記号がいっぱいあっていやだねえ。
やり方一緒に考えてみよう。
まず書き方、ちよっと長いけど、
d(e^(x^3) * y)/dx の方がわかりやすいかな。2変数の掛けたものだから
前先微分+後微分だね。
yde^(x^3)/dx+e^(x^3) *dy/dx
de^(x^3)/dx が問題だね。 これをどうするか、e^x の微分は同じく
e^x かな。では、e^2x の微分は、2e^2x かな。
だったら、e^x^3 の微分は、3x^2e^(x^3)かな。
これが正しいとすると、
d(e^(x^3) * y)/dx =yde^(x^3)/dx+e^(x^3) *dy/dx
=y{3x^2e^(x^3)}+e^(x^3) *dy/dx
=e^(x^3){dy/dx + 3x^2y} となりますね。
でもそれじゃ、問題の答えと同じにならない?
ならないけど考える過程があっていればいいか。

次も左辺(ye^(x^2))'だね。ちよっと書き換えてと、
d(ye^(x^2))/dx これも前微分+後微分だから
=(dy/dx)e^(x^2))+y(de^x^2/dx)
=(dy/dx)e^(x^2))+y(2x)e^x^2
=(e^x^2){(dy/dx)+2xy}
この式は問題に一致しているね。

考える上で参考になるといいね。
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【積の導関数】


 (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
【合成関数の導関数】
y=f(t), t=g(x)のとき、
 d{f(g(x))}/dx=d{f(t)}/dt・d{g(x)}/dx
【指数関数の導関数】
 d(e^x)/dx=e^x

 (e^(x^3)y)'
 ={e^(x^3)}'y+e^(x^3)y'
 =e^(x^3)(x^3)'y+e^(x^3)y'
 =e^(x^3){3x^2+y'}

 {ye^(x^2)}'
 =y'e^(x^2)+y{e^(x^2)}'
 =y'e^(x^2)+ye^(x^2)(x^2)'
 =y'e^(x^2)+2xye^(x^2)
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一つ目の式ですが、上から下にもっていくのは思いつきにくいので、下から上に展開してみましょう。

右辺は同じなので左辺だけ考えます。
たしか積の微分の法則では(f*g)’=f’*g+f*g’だったので、
d/dx (e^(x^3) * y) = d/dx (e^(x^3))*y+ (e^(x^3))* dy/dx=3*x^ 2*(e^(x^3))*y+(e^(x^3))* dy/dx= e^(x^3) * (dy/dx + 3 * x^2 * y)
となります。(d/dx (e^(x^3))= 3*x^ 2*(e^(x^3)))
と、よく見るとx^3とx^2が違います。問題の方が違っていませんか?
二つ目の式はまだ考えていませんが、同じように下の式から展開していけばわかるとおもいます。
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はじめまして


まず指数関数の一次微分は・・・
(exp{f(x)})'=f(x)'*exp{f(x)} ですよね
それを踏まえて下のほうをやってみると
(左辺)
exp{x^2}=zと置いて計算した方が簡単
→左辺=z*y'+y*2xz
ここでexp{x^2}=zを微分する訳です
→2x*exp{x^2}=z'
→2xz=z'
だから左辺=z*y'+y'*z=(yz)'

参考になれば幸いです
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