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基礎的な簡単な問題だと思いますが、勉強を始めたばかりでわかりません。
(1)a|bかつa|b+cならばa|cである。
(2)a|bまたはa|cならばa|bcである。
どちらも誤りなのですが、反例がわかりません。
自分の考えとしては、
(1) b =ap
  b+c=aq  とすると、c=a(q-p)
よってa|cだと思ったのですが。
(2)も、aはbまたはcの倍数であるからa|bcが成立すると思いました。
どなたか御教授下さい。

A 回答 (7件)

#5です



多少のtypoは見逃してください.
もちろん c|a じゃなくって,a|cです.

>aの方が小さいといえるはなぜでしょうか??よろしければ教えてください。

いや、、、あの。。「小さい」といってるのは
覚え方のための「標語」みたいなものです.
厳密には「小さい」なんていうと
例えば -1000 と 4 なんかは微妙でしょう?
もちろん数学的には -1000 < 4 だし,大小は当然決まりますが
4 | -1000
です.しかし4の方が「大きい」です.
ただ,人間の直観としては,絶対値で大小を感じることも
多いわけで,直観に訴える意味で「小さい方が左」と書きました.
だから厳密な定義も併記したのです.
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この回答へのお礼

なるほど!すごくよくわかりました。色々ご迷惑をおかけしましたが。
ありがとうございました。また、お世話になることがありましたらお願いいたします。

お礼日時:2008/05/05 14:53

もうめちゃくちゃですね。


#3さんへの補足お礼で理解できたとおっしゃっていますが、#3 さんの回答は、質問者さんが誤った定義を示したことによって生まれた反例でしょう。
理解できるはずがない。

#5 さんがおっしゃるとおりで、
(1)a|bかつa|b+cならばa|cである。
(2)a|bまたはa|cならばa|bcである。
はともに正しい。
つまり、もともと質問者さんの疑問(考え)が正しいのです。

だからこそ、#4で
> また、問題とその回答をもう一度よーく読んで欲しい。明らかにおかしい。
と申し上げたわけなんで、正直言って、正解の見誤りなんじゃないかと疑ったわけです。結局どうだったんですか?
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この回答へのお礼

再度回答ありがとうございますNo3さんは、私の間違った定義の上での回答ですので、反例を理解できたというよりは、この問題を解くときの着眼点を示してくださったことに感謝しています。私は無鉄砲に色々代入していましたから。
私は最初に(1)a|bかつa|b+cならばa|cである。
(2)a|bまたはa|cならばa|bcである。
はともに正しいと回答したのですが採点が×だったんです。
だから反例をどなたかに示していただけたら・・・と思ったんです。

お礼日時:2008/05/05 14:37

もう記号がごっちゃごちゃですね.


この割り切れるの記号「|」はほんと混乱しやすい.
そもそもなんで(1)(2)の両方が
「誤り」なんて判断したんだろう.

数学では「左にあるほうが小さい」と表記することが
とても多いので,そのように覚えるんです.
つまり
a | b ってのは,aの方が小さいのだから,
a は b の約数ってことです.

で,これの厳密な定義は
整数 a と整数 b に対して,ある整数 q が存在して
qa =b とできるときに,a は b の約数(b は a の倍数)であるといい,
a | b と書く
とういことです.
これが普通使われている「|」の定義だと思いますよ.
とにかく定義をきっちり理解しましょう.
なお,流儀が違って,上の定義と違う「|」だったら
以下の議論は間違えです.

まず,0a = 0 だから a | 0 です.
言葉でいえば,
0はどんな整数の倍数でもあり,同じことですが
任意の整数は0の約数であるということです

>(1)a|bかつa|b+cならばa|cである。
a|b なので,b=aq となる q が存在する.
a|b+c なので,b+c=aq' となる q' が存在する.
よって
aq+c=aq'
c= a(q'-q)
したがって,c | a

>(2)a|bまたはa|cならばa|bcである。
b=aq とできるのならば bc = aqc = (qc) a なので a|bc
c=aq' とできるのならば bc = baq' = (q') a なので a|bc
よって
a|bc
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。No2さんの補足に書きましたが、aとbが逆でした。お詫びします。普通使われている「|」の定義を間違って書いていることを踏まえた上で回答くださったことに感謝しています。
また、式による解法もわかりやすく提示していただきありがとうございます。自分で最初に定義を間違っといて言うのもおかしいのですが、
(1)c= a(q'-q) cはaの倍数という意味になりますよね??
>したがって,c | a
は、a|cでよろしいですか?
(2)についてですが、
bc = aqc = (qc) a なので a|bc
というところがよくわからないです。
bc = (qc) aなので、bcはqcがいかなる値でも最終的にaをかけているのでaの倍数ということはわかるのですが、aの方が小さいといえるはなぜでしょうか??よろしければ教えてください。

お礼日時:2008/05/05 14:30

#2 補足より


> a|bの意味は、bはaを割り切るという意味です。
> つまり、aはbで割り切れる、aはbの倍数、bはaの約数とも言い換えることもできます。
#1 補足より
> aが整数ならばa|0である。という問題があって、これの解答は正なのです。

矛盾だらけ。
a|b は bはaを割り切る( b は a の約数、a は b の倍数 )
と定義するなら、a | 0 は明からに成り立たない。
また、質問文にあるように、
a|b ならば b = ap, b+c = aq
とはおけない。

質問文の中でも((1)の考え方と(2)の考え方の矛盾)、a|b の定義が右往左往している。きちんと整理して定義すべし。
また、問題とその回答をもう一度よーく読んで欲しい。明らかにおかしい。

この回答への補足

No2さんの補足に書かせていただきましたが、aとbが逆でした。お詫びします。a|bの意味は、aはbを割り切るです。

補足日時:2008/05/05 13:21
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(1)a|bかつa|b+cならばa|cである


反例   a=10、b=2,c=3やa=24,b=3,c=5
考え方・・・aは偶数を考えて、b+cはaの約数、cを奇数とするとa|cでなくなるので考えやすいと思います。いくつでも判例を考えられます。
(2)a|bまたはa|cならばa|bcである
反例は「または」ですからbはaの約数を選び、cはaと互いに素な数を選べばいいんじゃないでしか。たとえばa=10,b=2,c=3やa=25,b=5,c=3
これは「または」ですから一方だけ成り立つように選べばいいんですよ
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。おかげさまで理解することができました。No2さんのお礼の中に私の誤りがあったことをお詫びします。
(1)はすごくわかりやすいです。ありがとうございました。
(2)について、
>「または」ですから一方だけ成り立つように選べばいいんですよ
という点の選び方についてですが、私は『成立しているa|bもしくはa|cのどちらか一方の値を採用するとき』と考えてしまいました。これだとだめなんですね。考え方が難しいです。でも、おかげさまで解くことができ、感謝しています。

お礼日時:2008/05/05 13:38

大変申し訳ないのですが、


a|bの意味は、bはaに含まれるということでしょうか。

であれば、aが自然数、b, c = 2, -1なら、反例になります。
でも、何か貴方の文意を正確に反映していない気がするので、間違いかもしれません。

この回答への補足

すみません、aとbが逆でした。
a|bの意味は、aはbを割り切るという意味です。
つまり、bはaで割り切れる、bはaの倍数、aはbの約数とも言い換えることもできますの誤りです。

補足日時:2008/05/05 13:17
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
a|bの意味は、bはaを割り切るという意味です。
つまり、aはbで割り切れる、aはbの倍数、bはaの約数とも言い換えることもできます。

お礼日時:2008/05/05 11:54

(1)(2)とも、C=0の場合に「あやまり」ではないでしょうか。

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この回答へのお礼

自分もそう考えたのですが、前の問題に
aが整数ならばa|0である。
という問題があって、これの解答は正なのです。
となると、(1)も(2)も成り立ってしまう気がするのですが・・・。

お礼日時:2008/05/05 11:35

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