祝Queenの日!フレディ・マーキュリーの年代別ファッション&ヒットソングまとめ

微分方程式で y' = dy/dx とします。

x*(x - 2*y)*y' = (x^2 + 2*y^2) = 0
が、
y' = - (x^2 + y^2)/x*(x - 2*y)
となり、
y' = -(1 - 2*y^2/x^2)/(1 - 2*y/x)
y/x = υ とおくと、
y = υx
dy/dx = υ + x*dυ/dx

ここまでは出切るのですが(間違ってるかも)この先がわかりません。
詳しい計算の方法を教えてください。
よろしくお願いします!

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A 回答 (5件)

#4oshiete_goosanの回答であっています。


参考まで:
y' = - (x^2 + y^2)/x*(x - 2*y)
となり、
y' = -(1+2*y^2/x^2)/(1 - 2*y/x)
y/x = υ とおくと、
y' = -(1+2v^2)/(1 - 2v)
y = υx
dy/dx = υ + x*dυ/dx
υ + x*dυ/dx= -(1+2v^2)/(1 - 2v)
x*dυ/dx= (1+2v^2)/(1 - 2v) -v
=-(1+v)/(1 - 2v) =(1+v)/(2v-1)
x*dυ/dx=(1+v)/(2v-1)
これをひっくり返して変数分離して積分する。
(#4oshiete_goosさん指摘。)
{(2v-1)/(1+v)}dv=dx/x
∫{(2v-1)/(1+v)}dv=∫dx/x
右辺は、∫dx/x=lnx+C
(2v-1)/(1+v)={2-(3/1+v)}だから*1左辺は、
∫{(2v-1)/(1+v)}dv=∫{2-(3/1+v)}dv
=2v-3ln(1+v)
つまり、
2v-3ln(1+v)=lnx+C
で、両辺Exp をとると、
Exp{2v-3ln(1+v)}=Exp{lnx+C }
=e^2v/(1+v)^3=Cx
ということで、e^2v=Cx(1+v)^3 
#4oshiete_goosさんの回答になる。

*1そのまま積分してみる。
∫{(2v-1)/(1+v)}dv=∫{(2v/(1+v)}dv-∫{1/(1+v)}dv
一項目は部分積分を利用すると、
=2vln(1+v)-2∫ln(1+v)dv-ln(1+v)
=2vln(1+v)-2{(1+v)ln(1+v)-(1+v)}-ln(1+v)
=2(1+v)+ln(1+v)(2v-2-2v-1)
2(1+v)+ln(1+v)(-3)=lnx+C
同じように両辺Exp をとると、
e^2(1+v)/(1+v)^3=e^(lnx+C )=Cx
e^2(1+v)=Cx(1+v)^3

e^2v/(1+v)^3=e^(lnx+C-2 )=Cx
と同じになる。
ということでですね。
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この回答へのお礼

とても丁寧にありがとうございました。

お礼日時:2002/11/12 17:34

>x*(x - 2*y)*y' + (x^2 + 2*y^2) = 0


これが解くべき微分方程式とすると,

y/x=u とおいて,
y=xu
y'=u+xu' (u'=du/dx)
これらを用いて与式を書き換えると
x(x-2xu)(u+xu')+x^2+2(xu)^2=0
xが恒等的には0でないとして, x^2で割って
(1-2u)(u+xu')+1+2u^2=0
(1-2u)xu'+1+u=0
変数分離形と見て
(2u-1)xu'=1+u
(2u-1)u'/(1+u)=1/x
{2-3/(1+u)}u'=1/x
積分して
2u-3ln(1+u)=ln(x)+C'

e^(2u)/(1+u)^3=Cx
あるいは
e^(2u)=Cx(1+u)^3
ただし, u=y/x で Cは任意定数.

皆様, 何卒ご検証と報告をお願いします.
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#1さんと同じ意見です。


x*(x - 2*y)*y'=0
だとx,y' がゼロでなければ、
y=x/2 しか答えがないように思うんだけど。
おかしいかなあ?

この回答への補足

そうでした。*(x - 2*y)*y' = (x^2 + 2*y^2) = 0 と書いている問題はではそうなりますね。本当にすいませんでした。正しくは

x*(x - 2*y)*y' + (x^2 + 2*y^2) = 0

です。すいません。

補足日時:2002/11/10 17:44
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y=υx


の後にもう一つ必要です。(両辺をxで微分)

この回答への補足

x*(x - 2*y)*y' = (x^2 + 2*y^2) = 0 と書いている問題は

x*(x - 2*y)*y' + (x^2 + 2*y^2) = 0

の間違いでした。すいません。

補足日時:2002/11/10 17:41
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まず、問題を正確に書きましょう。

この回答への補足

x*(x - 2*y)*y' = (x^2 + 2*y^2) = 0 と書いている問題は

x*(x - 2*y)*y' + (x^2 + 2*y^2) = 0
でした。誠に申し訳ございません。

補足日時:2002/11/10 17:35
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