cosD^(2)y+secxDy+(secxtanx+cosx)y=2sec^(2)xtanx
D[cosxDy+(secx+sinx)y]=2sec^(2)xtanx
cosxDy+(secx+sinx)y=sec^(2)x
Dy+(sec^(2)x+tanx)y=sec^(3)x
y=e^(-α)*{∫sec^(3)x*e^α dx +C} (α=tanx+log|cosx|)
tanx=βとおいてみたり,部分積分を試みたのですが
∫sec^(3)x*e^(tanx+log|cosx|) dxのが求められません。
解き方わかった方教えてください。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
被積分関数は周期πの関数であることから
|x|<π/2で考えれば良いと考えられる。
この時 cos(x)>0となる。
∫sec^(3)x*e^(tanx+log|cosx|)dx
=∫e^(tan x)/(cos x)^2 dx
=∫(tan x)'*e^(tan x)dx= ←後は分かりますね。
積分範囲|x|>π/2の積分は
周期関数の性質f(x±nπ)=f(x)を利用すれば
|x|<π/2のf(x)の積分に変換できますね。
ということで不定積分で考える場合は
|x|<π/2で考えておけばいいでしょう。
定積分する際には上記のように周期関数の性質を利用して
|x|>π/2の積分を|x|<π/2での積分に変換して積分すれば、任意区間での定積分が可能になります。
No.1
- 回答日時:
なんだかよく分からないけど、結局、xを実数として
F(x) = ∫((sec(x))^3) exp(tan(x)) |cos(x)| dx
を計算したいってことですか?
G(x) = ∫((sec(x))^3) exp(tan(x)) cos(x) dx
なら計算できるでしょう。すると、
F(x) = sgn(cos(x)) G(x) + C
ここに、sgn( )は符号関数、すなわち
sgn( y) = (y>0なら1、y<0なら-1)
です。
朝早くからありがとうございました
exp(log|cosx|)=|cosx|になることをすっかり忘れてました^^;
おかげで助かりました
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