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正規分布の加法性(平均値の求め方)について再び質問します。

昨日,質問して数人の方から親切な回答をいただいたのですが,私の質問の仕方が悪かったため,疑問がいま一つ解消できていません。

ここに,2種類の正規分布があるとします。話をわかりやすくするために,1つは女性の平均身長 N(NA,SA^2),もう1つは男性の平均身長 N(NB, SB^2)とします。「女性と男性の平均身長の差」を求めるために,女性の平均身長から男性の平均身長を引いて新しい正規分布を求めたとします。このとき,新しい正規分布は,正規分布の加法性にしたがって,N(NA-NB, √SA^2+SB^2)となりますよね。

この,新しい正規分布の平均値NA-NBについてなのですが,一般的に言って女性のほうが男性より身長が低いことが多いので,この値はマイナスになると思います。でも,逆にNB-NAとすればプラスになるでしょう。この2つの正規分布は同じものと考えて良いのでしょうか。

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A 回答 (3件)

何が問題なのかわかりません。


平均値の値分、平行移動してるだけでは?

もっと単純に、測定値xの真の値をm、誤差eをe=(x-m)とします。
このとき、xの分布f(x)と、誤差分布f(e)=f(x-m)は同じ分布でしょうか、
別の分布でしょうか?

分散をσ^2とすれば、前者はN(m,σ^2)、後者はN(0,σ^2)。

このばあい、「同じ」のさしている意味を明確にする必要があるでしょうね。

形式的には平均値が違っているので別の分布ですが、
持っている情報としては完全に同じなので、
その意味では同じ分布です。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます!

>持っている情報としては完全に同じ
そうだと思います。

でも,その正規分布を表わすときは,
A-Bなら N(-10,σ^2)になりますし,
B-Aなら N(10,σ^2)になりますよね?
(σ^2は先の質問で表せば√SA^2+SB^2)

そうすると,たとえば「男性よりも背の高い女性の割合」を計算しようとするとき,N(-10,σ^2)と N(10,σ^2)とでは,計算結果に差異が生じることにならないでしょうか?

>平均値の値分、平行移動してるだけ
ということは,計算結果は同じになるはずで,新しい正規分布はどちらで表しても良いということでしょうか。

要領を得ない質問ですみません。

お礼日時:2008/05/24 11:23

「同じ分布」とは言えません。


平均値が異なり、分散が等しい2つの正規分布でしょう。
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この回答へのお礼

Ishiwaraさん,コメントありがとうございます!
おっしゃるとおりです。本当に,そのとおり。

私の疑問は,2つの正規分布の平均値が異なってしまったら,たとえば,「男性よりも身長が高い女性の割合」を求めようとしたとき,どちらの正規分布を使うかによって答えが違ってしまうのではないか,ということだったのですが,そんなことはない,ということがわかりました。わかってしまえばあまりにも単純な疑問と誤解で,私の疑問が皆さんに伝わらなかったことが当たり前だと思いました。

あっという間に古い質問になってしまっていて驚きましたが,こんなページにまでお返事をくださってどうもありがとうございました。

お礼日時:2008/05/29 10:13

変数の意味も考えずに確立だけをやたら振り回したらそうなるでしょうね。



A-BとB-Aの意味を考え、何を求めたいかによって積分範囲を設定する。
当たり前ですね。
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この回答へのお礼

ごめんなさい。せっかくのお返事ですが,理解できません。
先の例でいえば,A-BもB-Aも男女の身長の差を表しますから,表している事実は同じものでしょう。しかし,計算方法により結果にプラスとマイナスとの違いが出ますから,その違いの扱い方について知りたかったのですが,意図が伝わらないようです。
お忙しい中,お返事ありがとうございました。

お礼日時:2008/05/25 09:43

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Q正規分布の加法性について

すいません。統計学初学者です。
正規分布の加法性でわからないことがございます。

1.N(u1, σ1^2) + N(u2, σ2^2) → N(u1 + u2, σ1^2+σ2^2)
2.N(u1, σ1^2) - N(u2, σ2^2) → N(u1 - u2, σ1^2+σ2^2)

正規分布を足しても引いても、
平均はそれぞれ、足されるあるいは引かれますが、
なぜ、分散だけはどちらも足されるのでしょうか?
分散は引くことは出来ないものなのでしょうか?

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

>分散を引いたときと足したとき、分散の値は同じ。

根本的な誤解があります。質問者さんが参考にしている本も私たちも分散の引き算を、
さらには分布の引き算を論じているわけではありません。2つの確率変数X,Yの和、差の
結果として(X-Y)の分布、分散がどうなるかを論じています。この二つは全く違う議論です。

確率変数は何らかの分布に従ってはいても実態は具体的な数字です。
サイコロの出目であったり、#3で例としてあげたコインの枚数であったり、
工場で作れらる製品の不良品の数であったり様々ですがあくまでただの数字であり、
分布では有りません。ただ、その出現頻度が何らかの法則に従っているだけです。
この具体的な数字、例えば大きなサイコロと小さなサイコロを振って大きいサイコロの
出目から小さいサイコロの出目を引くといったことを考えるのが確率変数の引き算で、
その結果がどのような分布に従うことになるかを今、論じているのです。

さらに分かり易い(?)例を考えてみると、A社の200g入り牛乳の実重量が正規分布(203,1)に
従っているとします。ここから2本ずつ取り出してそれぞれの重量の差を求めてみます。
その結果が(0,0)、つまり全部0、どれも差がなかったことになると思いますか?
重いものから軽いものを引くこともあるし、軽いものから重いものを引くこともあり
結果として差は正規分布(0,2)に従うことになりますよ、と言っているのが参考書ですし、
回答者みなさんなのです。

もちろん、分散を引く計算を問題にすることも出来ます。
重量が正規分布に従うコップが有ってここに重量が正規分布(100,5)に従う水を
入れたら全体の重さは正規分布(120,8)に従った。元のコップの分布を求めよ。
これなら分散を引いて答えは(20,3)になります。しかしこれは確率変数の差を
求めているわけではないのですよ。

>分散を引いたときと足したとき、分散の値は同じ。

根本的な誤解があります。質問者さんが参考にしている本も私たちも分散の引き算を、
さらには分布の引き算を論じているわけではありません。2つの確率変数X,Yの和、差の
結果として(X-Y)の分布、分散がどうなるかを論じています。この二つは全く違う議論です。

確率変数は何らかの分布に従ってはいても実態は具体的な数字です。
サイコロの出目であったり、#3で例としてあげたコインの枚数であったり、
工場で作れらる製品の不良品の数であったり様々...続きを読む

Q正規分布の加法性について(平均値の求め方)

正規分布の加法性について(平均値の求め方)について教えてください。

たとえば,1つの正規分布の平均値が100,もう1つの正規分布の平均値が110で,この2つの正規分布の「差」を求める場合,平均値は10になるのでしょうか,それともマイナス10になるのでしょうか。

「常に大きい値から小さい値を引く」というようなルールはあるのでしょうか。

Aベストアンサー

まず、前回回答の「平均同士の差A-Bが新しい平均」という言葉は、あまりよくなかったです。
数学と英語を総合した平均点が10点(あるいは-10点)としているみたいですからね。(本題と関係ないかもしれませんが。)

さて、

>>>
例えば,Aが女性の平均身長でBが男性の平均身長だとします(値のおかしいのは無視してください)。全体数が同じだと仮定して,新しくできた「身長の差」の正規分布を用いて,男性よりも身長が高い女性の割合を計算するとします。このとき,A-Bなら平均値がマイナス10ですが,B-Aなら10になります。
平均値がマイナス10の場合と10の場合とでは,男性よりも身長が高い女性の割合は違ってしまいませんか? 

A-B にするか B-A にするかは任意、
つまり、役割分担を、
・男性=プラス、女性=マイナス
・女性=プラス、男性=マイナス
のどちらにしてもよいので、お好きなほうに決めればいいだけです。
座標を考えるとき、東と西のどちらをプラスにするかを決めるのと同じことです。


>>>
差は常に絶対値をとるのでしょうか? でも,A(女性の身長)-B(男性の身長)は普通に考えればマイナスになる場合が多いはずで,差を絶対値とするのはおかしい気がします。
当初の質問の「常に大きい値から小さい値を引く」というようなルールはあるのでしょうか,とはこういう意味なのですが・・・。

絶対値を取る必要はありません。
上記で述べた「役割分担」を決めることによって、プラスかマイナスかが反転します。
(最初の回答文の、最後の2行にも書いてますけど。)

まず、前回回答の「平均同士の差A-Bが新しい平均」という言葉は、あまりよくなかったです。
数学と英語を総合した平均点が10点(あるいは-10点)としているみたいですからね。(本題と関係ないかもしれませんが。)

さて、

>>>
例えば,Aが女性の平均身長でBが男性の平均身長だとします(値のおかしいのは無視してください)。全体数が同じだと仮定して,新しくできた「身長の差」の正規分布を用いて,男性よりも身長が高い女性の割合を計算するとします。このとき,A-Bなら平均値がマイ...続きを読む

Q2つの正規分布を合成したらどうなるのでしょうか?

現在大学の研究の過程で統計学を学ぶ必要がでてきました。僕自身は統計学に詳しくはないので知識のある方の回答は非常に助かります。
どうかご教授よろしくおねがいします。


平均μ、分散σで表される正規分布はf(x)=1/((√2π)σ) exp-{((x-μ)^2)/2σ^2}で表されますが



例えば互いに独立で

国語の平均点、分散を(μ1,σ1)としての正規分布f(国語)
数学の平均点、分散を(μ2,σ2)としての正規分布f(数学)

とした時の国語と数学の合計得点の分布f(国語+数学)はどのように表せばよいのでしょうか?

もしμ3=μ1+μ2,σ3=σ1+σ2のように平均も分散も和で考えてよいのなら

f(国語+数学)=1/((√2π)σ3) exp-{((x-μ3)^2)/2σ3^2}

が答えだと思っているのですが、それとは別のやり方で



f(国語)=1/((√2π)σ1) exp-{((x-μ1)^2)/2σ1^2}と
f(数学)=1/((√2π)σ2) exp-{((x-μ2)^2)/2σ2^2}をたたみこみ積分すれば答えがでるのではないかと考えています。

しかし、僕の数学の知識ではこれができなくて困っています。ガウス積分の公式を使ったりしなければいけないのではないかとも考えいるのですが行き詰っています。

アドバイスよろしくお願いいたします。

現在大学の研究の過程で統計学を学ぶ必要がでてきました。僕自身は統計学に詳しくはないので知識のある方の回答は非常に助かります。
どうかご教授よろしくおねがいします。


平均μ、分散σで表される正規分布はf(x)=1/((√2π)σ) exp-{((x-μ)^2)/2σ^2}で表されますが



例えば互いに独立で

国語の平均点、分散を(μ1,σ1)としての正規分布f(国語)
数学の平均点、分散を(μ2,σ2)としての正規分布f(数学)

とした時の国語と数学の合計得点の分布f(国語+数学)はどのように表せばよいのでしょうか?

...続きを読む

Aベストアンサー

> 平均μ、分散σで表される正規分布はf(x)=1/((√2π)σ) exp-{((x-μ)^2)/2σ^2}で表されますが
一般的には分散をσ^2と表し、標準偏差はその平方根でσと表します。
質問者さんが示された確率密度関数は、平均 μ、分散 「σ^2 」の正規分布のものです。分散と標準偏差の扱いをもう少しきちんとしましょう。

> μ3=μ1+μ2, σ3=σ1+σ2のように平均も分散も和で考えてよいのなら
2つの確率変数 X, Y があり、それぞれの平均と「分散」がμ1, (σ1)^2, μ2, (σ2)^2 であるとします。確率変数 Z を Z = X + Y で定め、Z の平均と「分散」をμ3, (σ3)^2 とすると・・・

μ3 = μ1 + μ2
は、X, Y がどのような分布であっても(X, Y が異なる分布であっても)成立しますし、X, Y が互いに独立であるか否かに関わらず成立します。
また、X, Y が互いに独立であれば(それらの分布によらず)、
(σ3)^2 = (σ1)^2 + (σ2)^2
が成立します。(このとき Z = X + Y の「標準偏差」σ3 は、σ3 = √( (σ1)^2 + (σ2)^2 ) )

> f(国語+数学)=1/((√2π)σ3) exp-{((x-μ3)^2)/2σ3^2}
> が答えだと思っているのですが
X, Y が互いに独立な確率変数であり、共に正規分布に従うならば、X + Y もまた正規分布に従うという事実は確かにありますが、これは正規分布の「再生性」と呼ばれる特別な性質であることを理解していなければなりません。その点、大丈夫ですか?

> それとは別のやり方で
> f(国語)=1/((√2π)σ1) exp-{((x-μ1)^2)/2σ1^2}と
> f(数学)=1/((√2π)σ2) exp-{((x-μ2)^2)/2σ2^2}をたたみこみ積分すれば答えがでるのではないかと考えています。
上述したように、正規分布の再生性を示す必要があるならば、畳み込み積分でそれを示すのが一法なのであって、何も「別のやり方」ではありません。
案ずるより計算するが易しです。式の整理が面倒なだけで、特別な知識は不要です。
f(x) = 1/((√2π)σ1) exp-{((x-μ1)^2)/2σ1^2}
g(x) = 1/((√2π)σ2) exp-{((x-μ2)^2)/2σ2^2}
h(x) = ∫f(t) g(x - t) dt
  = 1/(2πσ1 σ2) ∫exp{ - (t - μ1)^2 / (2σ1^2) - (x - t - μ2)^2 / (2σ2^2) } dt
  epx( ) の指数部を t で平方完成して
  = 1/(2πσ1 σ2) ∫exp{ - (t - 何ちゃら )^2 / (2σ1^2 σ2^2 / (σ1^2 + σ2^2)) - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) } dt
  = 1/(2πσ1 σ2) exp{ - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) } ∫exp{ - (t - 何ちゃら )^2 / (2σ1^2 σ2^2 / (σ1^2 + σ2^2))} dt
  = 1/√(2π(σ1^2 + σ2^2)) exp{ - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) }
  (∵ ∫ exp ( - (t - A)^2 / 2B^2 ) dt = √(2π) B )
μ3 = μ1 + μ2, σ3^2 = σ1^2 + σ2^2 とおけば
h(x) = 1/(√(2π) σ3) exp( - (x - μ3)^2 / 2 σ3^2 )
途中、「何ちゃら」の部分は省略してますので、興味があれば追っかけてみてください。

なお、本件は確率論において、ごくごく基本的な事項です。
もし、これから確率統計を使って研究をされるのならば、このような件を簡単に質問して済ませるのは危うい感じがします。ちゃんと書籍を読まれ、その上で質問されるのが宜しいでしょう。

> 平均μ、分散σで表される正規分布はf(x)=1/((√2π)σ) exp-{((x-μ)^2)/2σ^2}で表されますが
一般的には分散をσ^2と表し、標準偏差はその平方根でσと表します。
質問者さんが示された確率密度関数は、平均 μ、分散 「σ^2 」の正規分布のものです。分散と標準偏差の扱いをもう少しきちんとしましょう。

> μ3=μ1+μ2, σ3=σ1+σ2のように平均も分散も和で考えてよいのなら
2つの確率変数 X, Y があり、それぞれの平均と「分散」がμ1, (σ1)^2, μ2, (σ2)^2 であるとします。確率変数 Z を Z = X + Y で定め、Z ...続きを読む

Q正規分布の再生性について

こんにちは。
いま統計解析について勉強しているのですが、
テキストの練習問題で解き方がわからないものがあったので質問させてください。

(以下、テキストより一部引用)
ある製品を20個まとめて箱に詰めている。
製品1個あたりの重量はN(100, 4^2)に従って分布しており、箱は中身の空の状態で1箱あたりN(300, 10^2)に従って分布している。

このとき、製品20個を詰めた状態の箱の重量は1箱あたりどのような分布に従うか。
(引用終わり)

正規分布の再生性より、製品20個あたりの分布は N(20*100, 20^2*4^2)に従うと思い、
これと箱の分布を合わせて
N(20*100 + 300, 20^2*4^2 + 10^2) に従うと考えたのですが、
答えは N(2300, 420)となっていました。
(答えのみ書いてあり、導出手順は書いてありませんでした。)

正しい解き方を教えて頂けないでしょうか。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

分散の加法性を使います.

(製品の分散)=4^2=16
(箱の分散)=10^2=100

製品20個の分散(20個の足し算)=16×20=320
これに箱の分散を足すと420

^2の形になっていないので,ちょっと回答としては不満ですが・・・


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