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確率での互いに独立と互いに排反の違いがよくわかりません。
参考書などで調べたのですが余計混乱してしまって。
教えてください。

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A 回答 (3件)

「aとbが独立」というときは、aの結果によりbの結果が左右されないことを指します。


たとえば2回さいころを振るとして、1回目に1が出たとします。
本モノのサイコロなら、2回目の目は1回目にかかわりなく、1~6のどれもが確率1/6で出ます。
ただし、サイコロがイカサマなら、2回目も1の可能性が高い。

実は、こういう現象は、結構あります。
・明日の天気について、今日が晴れで明日も晴れる確率と、今日が雨で明日が晴れる確率は一致しない。
・安全装置を2重にかけた場合の故障。 通常、おのおのの安全装置が故障するのは、もう1つの安全装置が故障したかどうかには関係ない
 ので各々独立であるとみなされる。
 ただし、洪水や地震の場合、2つとも故障してしまうかも。
・英単語。
 A-Zの出現確率は、アルファベットごとにある一定値をとる。
 ただし、qの次はほとんどu 、とか、thの次はe といった偏りがある。

こういった場合、「aとbは独立ではない」のです。
(今日の天気と明日の天気、あるいは、安全装置aと安全装置bの故障率
 が、事象a,bにあたります。)

ですので、数学上では、独立かそうでないかは、単なる決め事ですが、
工学上は、独立かどうかは、実態と合っているかどうか大いに問題となります。
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 「aとbが独立」というときは、aが起きるかどうかが、bが起きるかどうかは無関係である、ということですね。


 例えば、二つのサイコロを振るとき、片方の出る目ともう一方の出る目は独立です。

 「aとbが排反」というときは、aが起こるとbは起きない、ということです。
 例えば、サイコロを振るとき、偶数の目が出る事象と奇数の目が出る事象は排反です。
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さいころで考えましょう。


大きいさいころと小さいさいころを同時に振ったとき、
大きいさいころの目が奇数になる事象と小さいサイコロの目が偶数になる事象はお互いに独立しています。(大きいさいころの目が奇数でも小さいサイコロの目は偶数になり得るから)
では、2つのサイコロの目の合計が奇数になる事象と偶数になる事象はどうなるでしょう?
2つの目の合計なので、奇数の場合は偶数にならないし、偶数の場合は奇数になりません。この場合の事象は排反しているといえます。
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事象A、B、C、...が互いに独立であることの定義は?

事象A、Bが独立であることの定義は、「P(A|B)=P(A)が成り立つこと」であると参考書にあったのですが、これと同じように言うとして、多くの事象A、B、C、...についてそれらが互いに独立であることの定義はどのように言えばいいのでしょうか。

Aベストアンサー

>「P(A|B)=P(A)が成り立つこと」
ではなく,
P(A|B)=P(A)P(B)が成り立つこと
ということ.

A1,A2,...のうちの
任意の二つAj,Ai(iとjは異なる)に対して
AiとAjが独立であるとき
A1,A2,...は独立であるという.

確率論の教科書に普通にでてるはず.

A1,A2,...のうちの
任意の有限個A1,A2,...,Anに対して
P(A1∩A2∩・・・An)=P(A1)P(A2)・・・P(An)
となるとき
A1,A2,...は独立であるという
という定義でもいい.

Q確率の排反と独立

排反と独立の意味の違いがまったくわかりません。本にはこの二つに違いを区別するのがポイントのようなことが書いてありましたが、違いがわかりません。

教えてください。よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

「ではほぼ同じ意味と考えていいのでしょうか。」
違います。
あるコインを上に向かって投げたとき、落ちたコインが表を向いているか裏を向いているかは、同時には起こりえないので排反です。これは、表が出ることと裏が出ることに「関係がある」ことになります。(表だから裏じゃない。又は裏だから表じゃない。)
もう一枚コインを投げたとき表になるか裏になるかは1枚目のコインには「関係がありません。」(一枚目が表だったから、2枚目は裏とは限りません。)
なので、1枚目のコインと2枚目のコインで裏表どちらの面が出るかは独立しています。

「独立とは「排反だから独立である。」といえるでしょうか。」
言えません。

排反とは、この場合一つのものの中でおきる事象について言っています。また、独立とは一つの事象が他の物の事象と関係があるかどうかを言っています。

例えば、袋の中に白石3個と黒石3個が入っていたとします。
石を一つ取り出すとき白石なのか黒石なのかは排反です。
(排反&独立の例)
「1回目」袋から石を一つ取り出して色を確認し、この石を袋に戻します。
「2回目」袋から石を一つ取り出して色を確認し、この石を袋に戻します。
このとき、「1回目」の石の色と「2回目」の石の色は独立です。
(排反&独立じゃない例)
「1回目」袋から石を一つ取り出して色を確認し、この石を捨てます。
「2回目」袋から石を一つ取り出して色を確認し、この石を捨てます。
このとき、「1回目」の石の色と「2回目」の石の色は独立ではありません。「1回目」で石を捨てているので、「2回目」は「1回目」にどの色が出たかで変化します。

どうでしょう?少しは役に立ったでしょうか?

「ではほぼ同じ意味と考えていいのでしょうか。」
違います。
あるコインを上に向かって投げたとき、落ちたコインが表を向いているか裏を向いているかは、同時には起こりえないので排反です。これは、表が出ることと裏が出ることに「関係がある」ことになります。(表だから裏じゃない。又は裏だから表じゃない。)
もう一枚コインを投げたとき表になるか裏になるかは1枚目のコインには「関係がありません。」(一枚目が表だったから、2枚目は裏とは限りません。)
なので、1枚目のコインと2枚目のコイン...続きを読む

Q事象の独立の証明について

事象A,Bが互いに独立ならば、
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ということの証明がわかりません。ご教授ください。

Aベストアンサー

Aが起きた上でBが起きる条件付き確率をP_A(B)、
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とすると、AとBが独立とは
P_A(B)=P(B)
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またBの余事象をBbarで表すと、
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P_A(Bbar)=1-P_A(B)
が成り立ちます。

もう自明ですね。
あとはご自分で証明の形にしてください。

Q確率で「試行の独立」「事象の独立」2つの関係

確率で「試行の独立」「事象の独立」2つの関係を教えて下さい。

「試行の独立」は、2つ以上の試行が他の試行に影響を与えない場合のこと。

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例えば、

「事象の独立」で従属であったとしても、「試行の独立」がある など・・・。

試行の独立は分かるような気がしますが、「事象の独立」あまりよく分かりません。

Aベストアンサー

←No.5 補足
補足質問が2つあるようですね。

(1) 独立でない試行から独立な事象を取り出す例。

そのために、変則的なサイコロの振り方を考えます。
まづ、普通にサイコロを振り、1回目の出目を確定します。
次に、もう一回サイコロを振り、
1回目が偶数で2回目が「1」だったときだけ、
2回目の値を「2」にスリ替えます。

このようにすると、1回目が奇数だった場合は、
2回目の出目を3で割った余りが
0、1、2 である確率はそれぞれ 2/6、2/6、2/6、
1回目が偶数だった場合には、
2回目の出目を3で割った余りが
0、1、2 である確率は 2/6、1/6、3/6 になりますから、
1回目と2回目の出目は、独立でない試行になります。

しかし、この試行から、1回目が偶数という事象と
2回目が3の倍数という事象を取り出すと、
両者は独立になっています。(確率を計算してみて下さい)

もちろん、1回目が偶数という事象と
2回目が3で割ると1余るという事象を取り出せば独立ではない訳で、
独立でない試行間から取り出した事象は、
独立な場合も独立でない場合もあるのです。

他方、独立な試行間から取り出した事象は常に独立です。

(2) 単一の試行から独立な事象を取り出す例。

これは、既に No.1 で間違え、No.3 で訂正したように、
サイコロを一回振って、偶数が出るという事象と
3の倍数が出るという事象が、その例になります。

偶数が出る確率は 3/6、3の倍数が出る確率は 2/6、
偶数かつ3の倍数が出る確率は 1/6 ですから、
(3/6)×(2/6)=1/6 が成立しています。

←No.5 補足
補足質問が2つあるようですね。

(1) 独立でない試行から独立な事象を取り出す例。

そのために、変則的なサイコロの振り方を考えます。
まづ、普通にサイコロを振り、1回目の出目を確定します。
次に、もう一回サイコロを振り、
1回目が偶数で2回目が「1」だったときだけ、
2回目の値を「2」にスリ替えます。

このようにすると、1回目が奇数だった場合は、
2回目の出目を3で割った余りが
0、1、2 である確率はそれぞれ 2/6、2/6、2/6、
1回目が偶数だった場合には、
2回...続きを読む

Q確率(独立について)

事象A,B,Cが互いに独立のとき
P((A∪B)∩C)=P(A∪B)P(C)
が成り立つのでしょうか?
ずっと考えているのですがわかりません。
どなたか、お分かりになる方はいらっしゃいますか?

Aベストアンサー

A,B,Cが互いに独立ならAUBとCも独立か?
ということだと思いますが、成り立たないでしょう。

たとえば全体集合を{1,2,3,4}とし
A={1,2},B={1,3},C={1,4}
とするとA,B,Cは独立になると思いますが

AUB={1,2,3},(A∪B)∩C={1}
だからP(AUB)=3/4,P((A∪B)∩C)=1/4
P(A∪B)P(C)=3/4*1/2=3/8
で等しくなりません。

もっと簡単な例が作れるのかも知れませんが
その辺は自信なしです。

Q数学の確率で排反事象と独立の違いについて

数学の確率で排反事象と独立の違いについて質問です。

"排反事象"は、2つの事象が同時に起こらないこと、

"独立"は、2つの試行について、それぞれの結果の起こり方にお互いに影響を与えないこと、

をそれぞれ、指しています。

独立という概念の前提として、排反事象を考えることはできますか?

つまり、独立であれば、排反事象である、とは言えないものの、

排反事象ということは、少なくても独立である、とは言えると思うのですが、

間違っていますのでしょうか?

Aベストアンサー

性別と血液型を例にしましょう。
性別:「男性である」と「女性である」は排反事象
血液型:「A型である」と・・・は排反事象

ここで、「A型は男性が多い」ということはありませんから、
「性別が・・・」と「血液型が・・・」という試行は独立になります。

前提条件
「男性」:「女性」=50:50
「A」:「O」:「B」:「AB」=40:30:20:10
とすると、
Xさんが「A型男性」である確率は20%ですね。

>排反事象ということは、少なくても独立である、とは言えると思うのですが、
おそらく「独立」という言葉の意味を
「男性である」=「女性でない」
∴完全に別の物であるから互いに独立した事象である。
という意味だとおもいますが、確率の世界ではこれを「独立」とは言いません。
こんな言葉があるかは自信がありませんが、ある意味「完全従属」です。


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