nが素数で
nを法とする既約剰余群(Z/nZ)*において
位数が2の元は-1だけであることを示したいのですが、
x^2 ≡ 1 mod n
⇒ (x-1)(x+1) ≡ 0 mod n
⇒ x = ±1
ではダメでしょうか。
ある本だと
以下の定理を使っています。
「Gを有限巡回群とする。|G|の任意の約数dに対して位数dのGの部分群が唯一つ存在する。」
この定理より nの既約剰余群において、位数2の元は-1のみ。
しかし、この定理の証明が私にとって難解で、まったく理解できません。
結局、位数2の元が-1だけであることを言いたいので
x^2 ≡ 1 mod nを
上記のように解けば説明になっているのでは?と思いました。
x^2 ≡ 1 mod n を解くだけで説明になっているでしょうか?
アドバイスお願いします。
また、もしできたら
「Gが有限巡回群のとき… |G|の任意の…」 の定理の証明をわかりやすく説明していただけないでしょうか。
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