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前に類似の質問が出ていましたが、珍回答のまま終結していたのでもう一度スレッド立てます。(わら
円の一周を360度に決めたのは人間が勝手にしたことですから、その360の約数に意味がないのは分かると思います。
数学のカテゴリに質問されているのですから出来ないなら出来ないことの証明が欲しいと思います。
(どこかで聞いたようなセリフかな)

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A 回答 (9件)

珍回答で終わりは私もありゃ~と思っていました.


回答書いて送ろうと思ったら締め切られていたんですよ~.

360°を割り切れないとダメ,は明らかにおかしいですね.
角の二等分はよく知られていますから,正 2^k 角形 (k>2) を作るのは簡単.
正16角形でもう 360°を割り切れなくなっちゃう.

コンパスと定規で使うという,通常の作図のルールで作図できる正n角形は
Gauss が 1796 年に結論を出していて
n = 2^k×(互いに相異なるフェルマー素数の積)
に限ることがわかっています.
フェルマー素数とは 2^(2^p)+1 の型の素数で
p=0 の3,p=1 の5,p=2 の17,p=3 の257,p=4 の65537
が知られています.
p=5 は 641×6700417 と分解出来るのを Euler が発見しています.
他にフェルマー素数があるかどうかは多分わかっていないんだと思います.

n = 2^k×3×5 の正n角形が作図可能なのは大昔(ユークリッドの頃?)から
知られていました.

なお,正n角形が作図可能であるのと,
円分方程式 z^n = 1 の解が有限回の加減乗除と平方根で書けるのとは
同じことです.

結論として,正7角形は通常の作図のルールでは作図出来ません.
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一辺の長さが1の正七角形において、


短い方の対角線の長さは 2cos(π/7)=1.8019…
長い方の対角線の長さは 1+2cos(2π/7)=2.2469…
でありますが、
一方で 平面グラフにおいて、
y=x^2 -1 (放物線)と y=(1/x-1)+1 (双曲線)
(それぞれy=x^2, y=1/x を平行移動させたものです)
の交点が3つあり、そのうちの一つが
(1.8019…,2.2469…) になります。 
これで「正七角形の対角線の長さは放物線と双曲線の交点の座標で表すことが出来る」と云うこと、
または「正七角形は作図可能である」と云うこと
(辺の長さと対角線の長さが解れば、正多角形は描けます)
を示せると思います。
 (『定規とコンパスのみでは作図不可能である』ということを覆すものではありません)
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stomachman さん:


> だけど17角形は描けるんだぞ!って。
> じゃあやってみせろとクラス中が要求したのを思い出した。

ひゃぁ~,きびしい要求ですね.
もしかして,stomahman さんが先頭にたって要求した?

本題から離れますが,高木貞治の「近世数学史談」に Gauss 自身が手紙で
このことに触れているのが紹介されています.
それによりますと,360°= 17φとして
(1)  x^2 + (1/2)x - 1 = 0
の解が e と f (ただし,e > f)
(2)  x^2 -ex - (1/4) = 0
の解が a と b (ただし,a > b)
(3)  x^2 -fx - (1/4) = 0
の解が c と d (ただし,c > d)
(4)  x^2 -ax + (1/2)c = 0
の解が cosφ と cos(4φ) (もちろん,cosφ > cos(4φ))
という組み立てになっています.
2次方程式の解の作図はよく知られていますから,
結局 cosφが作図できて,正17角形が描けることになります.

作図の誤差が出るから,果たしてきれいな正17角形になりますかね.
実用上は分度器の方が良さそう.
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この回答へのお礼

回答どうもありがとうございました。納得のいく回答も出尽くした(っていうか私にはついていけない世界になっている)ようなので、これで締めたいと思います。
あとの回答へのお礼は以下同文ということで…。

お礼日時:2001/02/16 18:40

 siegmund先生の完璧回答を見てstomachman、かすかな記憶がよみがえった。

小学校の先生が言ってましたよ。7角形、11角形は出来ないんだ。それより上のはなおさら無理だと思うだろ、だけど17角形は描けるんだぞ!って。じゃあやってみせろとクラス中が要求したのを思い出した。

 誰が証明したんだっけかなー、と思いながら、我流でコンパスと定規で作れる長さの群をちょこちょこ検討し始めていたところ。フェルマー素数だって。アブナイ、アブナイ。半年掛かるところでした。
 そこでフェルマー素数でサーチ掛けてみると正n角形がいっぱい出てきます。ガウス18才の作だそうで。

 PCがこれだけ普及しちゃうと、コンパスと定規で、なんてホントに人為的・パズル的な制約にしか見えませんよね。分度器説も出てくる筈です。
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えーっと、まずはstomachmanさんの指摘に答えますと、円を弧度法で表わすときは2πですのでそれをn等分するので2sin(π/n)では違う意味になりませんか?


次に基本的に書けないと言ったのは、一般に使う道具で正確に書けないだけの事です。これは、下に書いた通り大まかで良いならそれでも良いですが。
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さては「正五角形の描き方」の応用で方程式を作ったんですね。


数値計算するならともかく、解析的に解くのはめんどくさくて大変。Mathematicaを利用してはいかがでしょう。

keroroさん<
半径1の円に内接する正n角形の一辺の長さは2 sin(π/n)じゃございませんでしょうか?
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正7角形の内角を計算する事は可能です。

ただ、一般に書こうとしても正確には書ききれません。多少のずれを気にしないのなら分度器で作れば良いのです。
それから、sinπ/7という長さではできません。(これだって円を用いないと使えませんが)
おくなら、sin2π/7とおいて下さい。(ちなみに、この置き方だと一辺1の単位円が元になります。)
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この回答へのお礼

ようこそ、おいで下さいました。(無視されると思ってました。)
元スレの回答で「基本的にかけません。」といわれていますが、その理由を教えていただけませんでしょうか。

お礼日時:2001/02/15 19:41

sin π/7 という長さを作ればよい。


θ=π/7、x=(sinθ)^2とおいて、sinπ=sin 7θを倍角公式で展開してみると
0= -64x^3+112x^2-56x+7
となります。これを解けばxが決まるわけですが、しんどい。
毎度中途半端ですいません。
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この回答へのお礼

さすがstomachmanさん早いですね。
私は7角形に対角線引いて相似図形から立てた連立方程式解いてたんですけど途中で挫折してます。

お礼日時:2001/02/15 18:41

どこぞで毒されているんですかね。


真面目に質問している印象は受けませんが。

↓以下のURLが参考になるかと。

参考URL:http://www.nikonet.or.jp/spring/ori_h/ori_h.htm
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この回答へのお礼

鋭いご指摘恐れ入ります。
確かに不真面目なんですけどね、元スレッドに自信ありで不思議な回答が書かれてたものですから、茶化したようなスレッド立ててしまいました。
経験者さんが反論に来てくれるのも待ってます。

で、↑このURLのページを参考に7角形書いてみてたんですですけどかなり難解ですね。おかげで今日一日仕事が手に付きませんでした。(W

お礼日時:2001/02/15 18:33

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既に同趣旨の質問があり,
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=40706
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=210553
に回答が出ています.
本質的に Mell-Lily さんのご回答と同じです.

n=2^2^p+1 (p は自然数)という形をした素数はフェルマー素数と呼ばれています.
p=0 の3,p=1 の5,p=2 の17,p=3 の257,p=4 の65537
が知られています.
p=5 は 641×6700417 と分解出来るのを Euler が発見しています.
他にフェルマー素数があるかどうかはわかっていないと思います.

通常の作図のルール(定規とコンパス)で作図できる演算は,
四則と平方根であることがわかっています.
したがって,正n角形(半径1の円に内接としましょう)が作図できるかどうかは,
一辺の長さが四則と平方根で表されるかどうかにかかっています.
別の表現では,複素数 z に関する方程式 z^n = 1 の解が四則と平方根で書けるか
どうかと言うこともできます.
nが大きくなれば3乗根,4乗根,...が必要になりそうですね.
大体そうなのですが,たまたま平方根(2重根号,3重根号,...でもOK)+四則
だけで表現できる場合があって,それが上で紹介したスレッドや Mell-Lily さんの
話です.

既に同趣旨の質問があり,
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=40706
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=210553
に回答が出ています.
本質的に Mell-Lily さんのご回答と同じです.

n=2^2^p+1 (p は自然数)という形をした素数はフェルマー素数と呼ばれています.
p=0 の3,p=1 の5,p=2 の17,p=3 の257,p=4 の65537
が知られています.
p=5 は 641×6700417 と分解出来るのを Euler が発見しています.
他にフェルマー素数があるかどうかはわかっていないと思います....続きを読む

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