No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(q-p)×(r-p) は、ベクトル (q-p) と (r-p) を含む平面に直交する
一つのベクトルです。大きさは、既に述べたように二つのベクトルの
作る平行四辺形の面積です。
今このベクトルを、この方向に向かう単位ベクトルを e として、
(q-p)×(r-p)=e・|(q-p)×(r-p)| と表わされるとします。
求めるべき立体の体積は、(1/3)・(底面)×(底面に直交する高さ) で、
(底面)の大きさは、(1/2)・|(q-p)×(r-p)| であり、
(底面に直交する高さ)は、残る一つのベクトル s-p の底面に直交する
方向、つまり e 方向の成分で、(s-p)・e です。
従って、
求めるべき立体の体積=(1/3)・(底面)×(底面に直交する高さ)
=(1/3)・(1/2)・{|(q-p)×(r-p)|・e}・[{e・(s-p)}・e] であり、
言い換えれば、ベクトル (q-p)×(r-p) と ベクトル s-p の内積
を (1/6) 倍したもので表わされます。
ベクトルの掛け算の絶対値、|{(q-p)×(r-p)}・(s-p)| は
|det(q-p、r-p、s-p)| で表わされるので、教科書に示されているとおり
(1/6)・|det(q-p、r-p、s-p)| となるのです。
No.1
- 回答日時:
4つの座標ベクトルを p、q、r、s とし、ベクトル p が
原点にくるよう、全てのベクトルに -p を加える。
するとベクトルは、0、q-p、r-p、s-p となる。
ベクトル q-p と ベクトル r-p の外積 (q-p)×(r-p)は、
大きさがこれら二つのベクトルの作る平行四辺形の面積に等しく、
方向は、これら二つのベクトルに直交する方に向いている。
ベクトルの先端の4点(内一つは原点にあるが)の作る立体の体積は
ベクトル s-p と (q-p)×(r-p) の内積で表わすと
(1/3)・(1/2)・|det(q-p,r-p,s-p)|
=(1/6)|det(q-p,r-p,s-p)|
この回答への補足
回答ありがとうございます。
誠に申し訳ないのですが、下3行目からが僕の学力不足なのかよくわかりません。
詳しく説明していただけると嬉しいです。
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