AB二者選択式の問題10問に9問がAと分かっているときの解答の仕方

たとえば、AB二者選択式の問題が10問あったとします。
その中の9問の正解がAで、残りの1問の正解がBであるということは分かっているのですが、何問目なのか分かりません。
1問に1点とします。

そういった問題に無作為に解答するとき、そのような解答の仕方がよいのでしょうか？

10問全部をAと解答すると、確実に9点得られます。
無作為の9問をAと解答し、残りの1問をBと解答すると、
10点である確率が1/10、8点である確率が9/10だから、
期待値として8.2点得られます。
なので、10問全部をAと解答したほうがいいと思いました。

一般化すると、まったく分からなくなりましたので、理解できる方は教えてください。

A[1]、A[2]、…、A[m]のm者選択式の問題がN[1]+N[2]+…N[m]問あったとします。
その中のN[1]問の正解がA[1]で、N[2]問の正解がA[2]で、…、N[m]問の正解がA[m]であるということは分かっているのですが、何問目なのか分かりません。
1問に1点とします。

そういった問題に無作為に解答するとき、そのような解答の仕方がよいのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： Ishiwara 回答日時： 2008/06/14 14:26

確率分布としては「オイラーの封筒問題」なのですが、解答の戦略によって、獲得点の分布が決まります。

例えば、戦略Ａを「全問に対して同じ選択肢で答える」とすれば、期待値は１点であり、分散は０（点数は確定値）となります。また、戦略Ｂ「全問に対してランダムに答える」であると（ｍが十分に大きければ）ポアソン分布になり、期待値は１、分散も１となります。

要点は、解答戦略に関係なく「期待値は常に１」であることです。これは、各個にアタリ/ハズレを予想するための情報が何もない、ということから自明だと思います。

「そんなに欲張らないが、０点だけは避けたい」というのであれば、戦略Ａを選ぶべきです。

また「２点以上が合格なので、２点を超えてもまったく嬉しくない」のであれば、戦略Ｃ「全体をほぼ等分し、第１グループではすべて１を、第２グループではすべて２を選ぶ」がよいでしょう。

No.4 回答者： SortaNerd 回答日時： 2008/06/15 12:51

Aが正解の問題の割合をnとすると、

・全問Aでの得点率 : n
・n問A残りBでの得点率 : n^2 + (1-n)^2
ということになると思います。
n=0.5の時のみ等しく、あとは全問Aが勝ちます。

No.2 回答者： larme001 回答日時： 2008/06/12 22:59

これは何かの問題ですか？それともただ自分で考えているだけなのでしょうか？　何かの問題でしたらすみませんが有意義な回答にはならないかもしれません。

解けません。

まず、一般化の言っていること一般と言いながら広すぎるので、二択問題がm問○という答えがわかっているとします。その時に○をどれだけつけるべきかということですが、m=0の場合これはつまり「マルペケの試験で何個丸をつけたら一番いいのか？」と聞いているのと同じことになります。わかるわけないですよね。すると、mがいくつからならわかるか？ということになるでしょう。これは難しいです。たぶん期待値で求めるとしてもすべて〇にしたとき、、、とひとつづつやっていって一番期待値の大きいものを出すとかの方法になるでしょう。これを地道に一般式として出すしかないと思います。これは複雑すぎて手計算ではまず無理だと思います。

さて、以上を踏まえて私が言いたいのは「期待値」というのはあくまで確率上の偏差値ということです。たとえば、n問あったら？と言いますが、そのn問であってもnが極端に少なかったり、あるいは、そもそも一度の試験においてえられる得点を考えるときあまり役に立たない場合もあるということです。たとえば、
テストの回答の仕方で
A=3/10で100点が取れるが、7/10は〇点になる可能性のある方法
B=必ず29点が取れる方法
があったときに、期待値上はAの方が得だからAを選ぶか？という話です。もちろん、100回ぐらい繰り返すと、結果的にAの方が合計点として特かもしれませんが、一回受けるだけなら7/10で0点になるわけですよ？それなら無難に29点取った方がいいかもしれないですよね？29点なら〇点でも同じだから賭けにでてもいいと思うなら、これは別に7割型100点でも三割0点を選ぶか、無難に100点を選ぶかというのでもいいです。おおむね満点のはずですよ？でも三割に入れば0点なわけですが。でもBなら確実に70点なのですが..?

なぜ、こういうのがおきるのか？というと単純に「期待値」はあくまでたくさん行ったときに近似的に近づきますよということだからです。数学で問題の「一般化」はできても結局人間の価値判断というのはでてくるのです。ラスベガスのカジノで1千万円が当たる人がいるのになぜもうかるのか？といえば、何万人といる客のうちほんのわずかが当たりで全体でみるとプラスになるからですよね。試験だって同じことで、一度や二度の結果に関しては0点とか100点とか極端な数字になる可能性だって可能性としてはあり得るのです。イチロ-だって4月5月だと打率が4割超えることもあるわけです。結局3割台に落ち着くわけですが、決して実力が落ちているのではなくて最初が高すぎただけということもあるわけです。少し意味は違いますが、「平均への回帰」といったようなことです。

No.1 回答者： Quattro99 回答日時： 2008/06/12 11:33

予想です。

どのようか解答の仕方がよいかは得点の期待値で考えることにします（例えば、全問正解しないとパスしない試験の場合はその選択肢の正解数と同じ数だけその選択肢を選ぶ以外には方法がなく、期待値を考えることは無意味です）。

すべても問題に同じ解答をする場合、最も正解数の多い選択肢を解答するのが最も期待値が高くなるのは明らかです。
すべての問題に同じ解答をしない場合、すべての問題に最も正解数の多い選択肢を解答する場合よりも期待値が小さくなってしまうのではないかと予想します。この予想が当たっていれば証明できそうな気がしますがよくわかりません。この予想が当たっていない場合、どう考えればよいのか全く想像できません。