No.36677 質問:次元について
を楽しく拝見させていただきましたがどうしても気になることが有ります。
あまりに、くだらないことかもしれませんが私なりに気になってしまい投稿に至りました。

以下本題。

3次元の影は2次元ですよね…おそらく

もし、4次元の物体があるとすればその物体の影は何次元でしょうか??
そもそも、4次元の物体というのは存在するのでしょうか??

ない知恵絞って考えたんですが、4次元(空間の3次元+時間の1次元)であっても、影は2次元の連続であると考えてしまうのですが間違いでしょうか??

どんな意見でもかまいませんおねがいします。

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A 回答 (6件)

時空の変換はローレンツ変換にしたがって変換された時空を、人間であれば空間成分を


なんかその普通の光景として捉えることが多いのではないでしょうか?
たとえば、地面に移った人の影(2次元)が時間(1次元)変化したからといって
なんか4次元が3次元に射影されたとあんまり思わないような気がします。
かといってローレンツ収縮した像をみたからといって時間成分が空間成分と混ざっているとか思うわけでもなく。
まあ普通の景色に見えちゃうのではないでしょうか?
捻じ曲がった空間であればまた違うような気がします。
(たとえばクラインの壷のような空間を2次元面に射影すると全体像はどうなるかとか?
 射影(写像)の仕方により変わってくるのだと思うのですが?トポロジーの問題ですね)

話はぜんぜん4次元の影ではないのですが、射影の話で思い出したことを勝手に書きます。
2次元格子を傾けて1次元に射影するとフィボナッチ列の格子点ができます。
(何度に傾けるかはわすれました。多分tanθ=(1+sqrt(5))/2かな?)
このフィボナッチ列をフーリエ変換する(回折像をとる)と、実は射影方向に断面をとったときの面で回折された像が得られ、
フィボナッチ列は準周期的な格子なので、それに対応して強い回折点の周りに弱い回折点が分布した
(フラクタルになっているのですけど)回折像がが得られます。
フィボナッチ列の準周期的構造は高次元でみれば正規の格子構造をもっていて、その構造を1次元でみれるというところがこの話のミソです。
そこで、話を逆転させます。
ある種のひずみの掛かった格子状態を回折像でみると、ひずみのない状態の回折点のまわりに弱い回折点が現れます。
この回折点の解析として、(結晶は3次元なので)4次元の格子(あるいはもっと高次元の格子)と捉えてみようという考えもあります。
(最近はどうなったのでしょう?ちなみに、ある種のひずみの掛かった格子状態とは
たとえば、電荷密度波とよばれる状態が結晶内で実現しその波の周期が結晶の周期と異なることにより発生します。)
その他、準結晶とよわれるマンガンアルミ合金の構造を5次元の立方格子とみることができます。
でも次元を上げたからといって、3次元+(1次元/2次元)の物性が見えるというわけではなく、
電子状態は複雑なバンド構造をもつようです。残念。
この原理が一番役立っている医療用断層写真でしょう。強度の射影のフーリエ変換が内部の密度分布をあたえる。
話が脱線しすぎました。ごめんなさい。
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この回答へのお礼

motsuanさんありがとうございます。
はっきり言って現段階で半分ぐらいしか内容を理解していません。
しかし、これをきっかけに軽く半日つぶれそうですけど理解したいと思います。

多くの人がいろんな意見をくれたので久々に頭を使いました。
何の気なしで、投稿したつもりがこんなにくるなんて驚きです。
これからも、どんどん質問しますんでよろしくお願いします。

得点のつけ方は、今回初めてだったので頭を使った順にしていますんでご了承のほどをよろしくお願いします。

お礼日時:2001/02/16 22:52

 気が付くとなにやら難しい回答が色々出ている様子……(笑)



 えとですね。俺の説については、「影は投影されるものではないから」というのが答えです。
 影はそこに写るものではなく、あくまで「光が当たっていない部分」ですから、ただ単にそこにある物が暗くなっているだけなのです。
 ですから、そもそも「影という物体」そのものが存在しないことになるのです。
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この回答へのお礼

訂正ありがとうございます。
deagleさんの意見と、stomachmanさんの内容を考えた結果、影というものは投影されたものではなく陰を切り取った断面だったとは…
同じことだと思っていましたが違うんですね。
少し、賢くなりました。(わずかながら)
ありがとうございます。

お礼日時:2001/02/16 22:42

stomachman先生たちの素晴らしい回答の後で素人考えを書くのも気が引けるのですが。



>4次元(空間の3次元+時間の1次元)であっても、影は2次元の連続

この場合、二次元+時間の三次元になるんじゃないですかね。三次元空間にはX,Y,Z軸があり、X軸の方向から光を当てるとY-Z平面に影が生じる。そのとき時間軸Tが存在していれば、Y,Z,Tの三次元ということに(定義上は)なるんじゃないでしょうか。
T軸の方向から光を当てたら……どうなるのかな。たぶん瞬間を切り取るというかたちになるんでしょうけれど、具体的なイメージは湧いてきませんね。歴史の光と陰が明らかになるのかもしれない。なんちゃって。
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この回答へのお礼

nutsさんありがとうございます
歴史の光と陰が明らかになるかもしれないなんて
ロマンチストですね。(笑)
私なりに、お気に入りの回答でした。

お礼日時:2001/02/16 22:25

 普通の3次元の空間の3つの軸と直交する、これら3軸と全く対等な4本目の軸を持っていて、この中で自由自在に回転ができる空間。

つまり互いに直交する4本の軸を、その空間の中にどういう風に入れても対等である、そういう4次元空間の話ですね。(普通の時空としての4次元=3次元空間+時間では、時間軸は空間軸と自由に入れ替える訳には行かない。オカルトのヒトはできると言うでしょうが放っときます。)
 そういう4次元空間に物理的な物体が存在しうるか、というのは難しい問題です。物理の法則が全然違ってくるから。この宇宙で成り立っている基本的な法則をそのまま4次元+時間の時空へ持ち込んだら、多分物質は生じないんじゃないかと思います。例えば電気力が距離の2乗じゃなく3乗に反比例することになり、遠くまで力が届かない。いや分かりませんけどね。

 それはさておき、まずウオームアップとして3次元空間で考えてみます。「影」ではなく「陰」を考えたらどうでしょう。タバコの煙が充満した部屋の中に窓から日光が差している。その光の中にボールを突っ込んでみると、ボールから後ろに光が届かない場所が円筒形の空間として生じるのが見えるわけで、これは3次元的です。この「陰」を「スクリーン」:すなわちある曲面で切り取った断面が「影」という訳ですから、スクリーンの曲面の次元が幾らなのかという話とだいたい等価な訳で、今度は(deagleさんやDESTINYさんの仰るように)「曲面の次元て何?」という話になります。スクリーンが糸なら1次元だし、無限に細かいでこぼこを持つフラクタル図形をスクリーンにするなら2.2次元なんて事もアリです。
 ここまでは「光が直進する」という素朴な仮定を置いた話ですが、物理現象としてはそうじゃない。実際レンズを通せば光は曲がる。スクリーン上に虫眼鏡で太陽の光を集めるとき、虫眼鏡の影はどうなるか。円形の虫眼鏡全体がまるで不透明であるかのような影ができ、その真ん中に太陽の像ができる。この場合「陰」は円筒形から円錐形を引き去った残りの形になってます。
 さらに光の波長によって屈折率がちがう。物の表面で反射も起こる。縁では回折が起こる。波長より小さい影は出来ないからフラクタルスクリーンだって無限に細かいでこぼこがどうなるのか。細かい粒子が相手だと波長によって散乱の仕方が違うなど、物理をきちんとやらないと、実は「陰」がどうなるか分からない。(従って「影」も。)

 3次元でもこういう事情ですから、4次元の場合もやっぱり物理法則を構築してから議論する必要がある。まず屏風の虎を追い出して貰わなくちゃ。
 あれま全然回答になってないや。
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この回答へのお礼

stomachmanさん回答ありがとうございました。
確かにそのとおりですね。
4次元の物理法則を構築せずにこの問題を投げかけたことに無理があったのかもしれません。何しろ当方ユークリッド空間や相対性理論のお話をかじった程度のレベルなのでとてもとても…
なのに、こんな問題を提起したことは反省しております。すいません…

しかし、現実的に考えて4次元の影があればどんなものかな~っと考えて多くの人に聞いたのですが満足した回答が得られず、質問に至ってしまったなんてただの言い訳に過ぎないか…

反省反省

お礼日時:2001/02/16 18:33

かげの問題ですが、


3次元の物体を2次元の空間に投影したら2次元になります。
3次元の物体を1次元空間に投影したら1次元になってしまいます。

ということは、4次元の物体を3次元空間に投影すると3次元、2次元空間に投影すると2次元です。 
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この回答へのお礼

DESTINYさん回答ありがとうございました。
なかなかどうして、皆様は柔軟な思考回路をお持ちで…
いくら考えても、3次元物体に投影した3次元物体を投影しても影は2次元に見える現実が振り払えない…

原因として考えられることは、ここで話題にしている3次元物体がワタクシの想像しているものと違うのかもしれませんね…

せっかくよきアドバイスを頂いたのに理解力が足らなくてすいません…

お礼日時:2001/02/16 17:58

 実際には、4次元空間を見た人がいないので想像で書くしかないのが現状だと思うのですが……3次元物体の影って、本当に2次元ですか?


 たとえば部屋の壁に写った影は、壁自体のデコボコに関わらず扁平ですか? アスファルトは、影になった部分だけつるつるのまっ平らになりますか?(笑)

 壁にデコボコがあれば影もデコボコになります。
 もし影が2次元の存在ならば、その影が写っている壁だって2次元ということになってしまうでしょう(広義には壁は2次元ですが)。

 ですから、3次元の影は3次元です。
 よって4次元の影も4次元になります。
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この回答へのお礼

deagleさん回答ありがとうございました。
いきなりですが壁が凸凹だとなぜ投影された影も3次元なんでしょうか??
疑問が残ることは、壁に投影されていたとしても影に高さが存在しないので2次元のままではないのでしょうか??
なんとなく、根本的にワタクシの考え方がおかしいのかも…

お礼日時:2001/02/16 17:37

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Aベストアンサー

>どんな軸が加わって五次元空間と言われているのでしょう?

 5次元以上は具体的には観測されていません。


 この話、最低限高校でやるベクトルが分かっていると
話が早いのですが・・・

 分かっていると期待して書きますね。

 次元とは縦、横、高さといった方向で、数学では
X、Y、Zのような互いに直角に交わったベクトル
(方向)で表せますね。
 互いに直角に交わった直線を3本書く、或いは針金で
作って見せるの容易ですが、4本は無理ですね。

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を越えた次元(空間の方向性)が実験で確認されたような
事実はないのです。

>どんな軸が加わって五次元空間と言われているのでしょう?

 5次元以上は具体的には観測されていません。


 この話、最低限高校でやるベクトルが分かっていると
話が早いのですが・・・

 分かっていると期待して書きますね。

 次元とは縦、横、高さといった方向で、数学では
X、Y、Zのような互いに直角に交わったベクトル
(方向)で表せますね。
 互いに直角に交わった直線を3本書く、或いは針金で
作って見せるの容易ですが、4本は無理ですね。

 でも4本の直線が互いに直角...続きを読む

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あるいは時間と空間を自由に行き来できるのが四次元なのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>そもそも我々の住んでいる世界は三次元ですか、四次元ですか?

4次元であると考えると都合がいいというのが
現段階の結論です。

 100年ほど前、スイスのチューリッヒ工科大学
のミンコフスキー教授が物理学的な4次元の理論というのを
考えました。物理的な計算をするのに、縦、横、高さ
方向以外にもう1つ方向があるとして計算すると
うまく計算できることがあるというもので、
彼の教え子の一人が、4次元時空の理論と
して有名な相対性理論を完成させた、アルバート・
アインシュタインでした。
 彼は、リーマンという数学者が作った、
曲がった空間の幾何学(現在リーマン
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あわせて説明したんです。これが相対性理論。

>これに時間の概念を足せば四次元になるのでしょうか?

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いうのは、タイムマシーンのことなんですが。

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現在のところ自由に移動できない方向なんです。

 例えば、人間がエレベーターの床のような
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 この場合、高さ方向を時間と考えて下さい。

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この状態が、人間の運動と関係なく、時間が
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 人間もほんの少し、ジャンプして高さ
方向の移動に変化をつけることができます。

 同様に時間もほんの少しなら変化をつける
ことができます。

 エレベーターの中で、ジャンプすると
ほんの少し下降を遅らせることができる
ように、時間もほんの少し遅らせることは
できるんです。




 

>そもそも我々の住んでいる世界は三次元ですか、四次元ですか?

4次元であると考えると都合がいいというのが
現段階の結論です。

 100年ほど前、スイスのチューリッヒ工科大学
のミンコフスキー教授が物理学的な4次元の理論というのを
考えました。物理的な計算をするのに、縦、横、高さ
方向以外にもう1つ方向があるとして計算すると
うまく計算できることがあるというもので、
彼の教え子の一人が、4次元時空の理論と
して有名な相対性理論を完成させた、アルバート・
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Aベストアンサー

僕も「縦横高さと、もう一つが分からない! 」と悩んだ事がありました。結局
無いものは無いんですが、今は四次元をイメージを出来てるつもりです。

10ken16 さんの言うとおり、視覚は二次元です。頭の中の三次元物体を回転さ
せたり、粘土で形にする能力が三次元想像能力です。

二次元人の視覚は一次元で、四次元人の視覚は三次元になります。(四次元を想
像する時は、二次元人も想像するのがポイントです)

以下は四次元超立方体ですが、(google イメージ検索で「超立方体」)

- 展開図 http://www.ne.jp/asahi/nicelife/nife/dim4/supcub1.htm

- 斜め上から見た時の四次元人の視覚 http://www.hokuriku.ne.jp/fukiyo/math-obe/4zigen.htm

- 同じものを横から http://kazemidori.oheya.to/MT/mt/archives/img/hypercube1.gif

- 遠近法付で真正面から見ると http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E7%AB%8B%E6%96%B9%E4%BD%93

となります。説明不足で「何処から見たの??? 」となってるでしょうが、とに
かく、僕はこんな風に四次元体を頭の中で連続的に回転できます。他は、四次
元五胞体、四次元超球とかが簡単ですが、難しいものはパソコンでやればいい
んです。

思うに、四次元物体を回転させるのは、感覚ではなく数学力です。そして、こ
の話について来れる友人 (理系学科卒) を数人持っているので、そんな大した
事じゃありません。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=841585,http://okwave.jp/qa941772.html?rel=innerHtml

僕も「縦横高さと、もう一つが分からない! 」と悩んだ事がありました。結局
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