プロが教えるわが家の防犯対策術!

はじめて質問させていただきます。

学校で位相幾何学を学んでいるのですが、なぜ収束列の部分列が同じ値に収束するのかがどうしても分かりません。
感覚的には分かるのですが、証明しろと言われると何をどうしていいのかさっぱり分からなくなってしまいます。

よろしくお願いします。

A 回答 (4件)

数列が収束するという定義はよいとして、



部分列そのものの定義を見直してみましょう。
部分列 {anj} の nj には、狭義単調増加というような約束が入っていませんか?

> 部分列とは数列anに対して、p≦an≦q(nは任意の自然数)となるp、qが存在するならば、数列anの部分集合である数列anjは収束するという・・・
もう一度、教科書を見直してみてください。質問者さんが言われているのは、有界列の部分列は収束するということのようですが、それは間違いです。有界列から収束する部分列を取り出すことはできますが、an が有界だからといって、その任意の部分列が収束するわけではありません。また、本問では、このことは無関係です。

この問題で問われていることは、an が α に収束するとき、任意の部分列が(質問者さんが言われた収束の定義に基づいて)α に収束することを示せということ。話は簡単で、{an} において、ある n0 より大きな n では |an - α|<ε ですね。an は α に収束するので。
ですから、任意の部分列 {anj} でも、その n0 より大きな添え字の項以降(nk >n0 となる k が存在して、k<j)で |anj - α| < ε 。これをきちんと言うために、部分列の正確な定義が必要。
参考まで
http://www.ritsumei.ac.jp/~osaka/rejime/kougi04/ …
    • good
    • 1
この回答へのお礼

もっともっと勉強しないとだめだということを痛感しました。
ありがとうございました。

お礼日時:2008/06/24 11:47

>収束するとは任意の正のεに対してa-ε<an<a+ε 


>for任意の自然数n:n0<n となるn0が存在するということではないのでしょうか。

「位相幾何学」でその定義はないと思う。
    • good
    • 1
この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

私がしっかり理解していないということですね、勉強します!

お礼日時:2008/06/24 11:46

こんばんは。



数列{an}がαに収束するとき、{an}の部分列{anj}がβに収束すると仮定して、αとβが一致することを示せばよいと思います。

きちんとε-δ論法で示すには三角不等式やコーシー列の知識も必要ですが…。


>また、部分列とは数列anに対して、p≦an≦q(nは任意の自然数)となるp、qが存在するならば、数列anの部分集合である数列anj
>は収束するということだと思っています

は本当に部分列の定義?私には理解できません。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

もう一度勉強し直します!

お礼日時:2008/06/24 11:45

それでは、「収束する」とは、どのように定義されますか?


また、部分列の定義は?
以上、補足欄へどうぞ。

これらをきちんと表現できるならば、収束列とその部分列とが同じ値に収束することを示すに何ら問題は無いはずです。これがさっぱり分からんということは、「収束とは」、「部分列とは」、の定義がさっぱり分かっていないとしか思えないのです。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
収束するとは任意の正のεに対してa-ε<an<a+ε for任意の自然数n:n0<n となるn0が存在するということではないのでしょうか。

また、部分列とは数列anに対して、p≦an≦q(nは任意の自然数)となるp、qが存在するならば、数列anの部分集合である数列anjは収束するということだと思っています。

補足日時:2008/06/23 20:22
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q部分列の収束性

こんばんは。「数列があって、それの収束する任意の部分列が同じ極限に収束するならば、その数列自身がその極限に収束する。ということを証明せよという問題です。

もしその数列がコーシー列であればその部分列がそのコーシー列と同じ値に収束するというのは証明したのですが、この問題では数列があってとだけ言ってます。コーシー列ならば、εーN法で行けるのですが、この場合どうやって証明すればいいのでしょうか?どなたか分かる方、証明宜しくお願いします。

Aベストアンサー

反例
an = n (nが偶数)
an = 1 (nが奇数)
つまり
1 2 1 4 1 6 1 8 ...
という数列.
収束する部分列は ...,1,1,1, .... のみでこれは1に収束.
けどもとの数列は収束しない.

問題が
「それの収束する任意の部分列が同じ極限に収束するならば」
ではなくて
「それの任意の部分列が同じ極限に収束するならば」かな

こうだと仮定すると「収束しない」の定義を利用して
「同じ極限に収束しない部分列」を構成できるので
証明できます.
#「収束しない」をεNで書けますか?

=========
コーシー列ならば収束する(実数の完備性)ので
コーシー列であると仮定した段階で,収束することを
仮定しているので,示すものが「逆」になっています.
収束する数列の部分列は収束するのです.

Q部分列って?

証明で,「~~なので,~~という部分列が存在する」
(たとえば,「fが非有界とする.fの非有界性より,ある部分列{tj}でf(tj)→∞というものが存在する」など)
というのを見かけますが,部分列ってなんですか?
「~~という点列が存在する」
ではだめなのでしょうか?

基本的なことで申し訳ありません.
よろしくお願いいたします.

Aベストアンサー

ココ↓
http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/index.htm
の解析学-(1)極限 をご覧になってください。点列、部分列の詳しい説明が載っています。

参考URL:http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/index.htm

Q集積点が、まったく分かりません!!

集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。

Aベストアンサー

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のAの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈XがAの集積点であるとは
「xのどんな近くにも(x以外の)Aの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈XがAの孤立点であるとは
xがAの要素であり  …(S1)
かつxのある近傍とAの共通部分にx以外のAの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなAの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈AであることはxがAの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがAの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Aの点でないような
Aの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Aの要素に対して与えられる概念ですから、Aに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをAの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間(ユークリッド空間)での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例(1)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりAは原点中心半径1の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとAの集積点(の集合)は
{(x,y)∈X| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径1の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例(2)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Aの集積点(の集合)はA自身と集合
B={(0,y)∈X| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例(3)Xを1次元ユークリッド空間として
A= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はAの集積点です。しかしA自身の点はすべて孤立点です。

例(4)Xを1次元ユークリッド空間として
Aは開区間(0,1)の有理点。すなわち
A= { x∈(0,1)|xは有理数 }
とします。Aの集積点(の集合)は閉区間[0,1]です。

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるよう...続きを読む

Q上極限、下極限が理解できません

大学で習っているのですが、limsupやliminfなどが定義を見ても、どういう意味なのか理解できません。

上界、下界、上限、下限については例があったので、なんとか理解することができました。


X={1,2,3}⊆Zのとき、下界の1つとして0がとれる。

こんな感じで、簡単な例つきで説明して下さると、理解できると思うのですが・・・。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

上極限

sin(n)で考えましょう。nは自然数です。
sin(n)は振動しているので極限はないけど、
「nが大きい時(というか初めからだけど)1を超えることはない」
「1付近の値を何回も(無限回)とる」
から1が上極限です。
ことばでいえば、
「ずっと先のほうでは、上極限の値より大きくならない」
(極限の意味でです。∀ε>0に対し上極限+εより大きくならないってことです)



この例では下極限はー1ですね。

(sin(n)-1)*n の場合だと、
上極限は0で、下極限は「なし」(-∞)となりますね。

Q数列とその部分数列の収束の証明

-----
-----
数列{an}がaに収束するとき、その部分数列{an(j)}がすべてaに収束することを示せ。
-----
-----
様々な書籍を参考にしてみたのですが、
-----
任意の部分列 {an(j)}が、その n0 より大きな添え字の項以降(nk>n0 となる k が存在して、k<j)で|anj-a|<ε
-----
上を示そうにも手こずり困っています。
部分列 {n(j)}が、自然数の単調増加列であることは解るのですが…。
大まかな道筋をお願いします

Aベストアンサー

今どこまでできていてどこで困っているのかを書いてくれればもうちょっと説明のしようもありますが, どこで詰まっているのかわからないので一般的に:
「数列 {an} が a に収束する」ということの定義をちゃんと書けますか?
定義が書けて {n(j)} が (j に関し) 単調増加であることが分かっているのなら,
「任意の部分列 {an(j)}が、その n0 より大きな添え字の項以降(nk>n0 となる k が存在して、k<j)で|anj-a|<ε」
は容易に示せるはずです.

Q一様連続でないの厳密な証明は?

微分積分の期末テストで次の問題が出ました。

次の命題の正誤を答えよ。ただし理由も与えること。

命題:関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続である。

この問題で自分は次のように解答しました。

(証)αを与えられた区間内の任意の要素とし、εを任意の整数とする。

あるδとしてmin.(ε/2|α|+1,1)とする。

このとき|x-α|<δ⇒|f(x)-f(α)|=|x^2-α^2|=|xーα|・|x+

α|<・・・・・(略)<δ(2|α|+1)<ε

となり、故にf(x)=x^2は区間[0,∞)で一様連続でない。(なぜなら、δがε

だけでなくαにも依存するから)

この解答で一応マルはもらえたのですが、はじめにδを上のようにしたものだけを考

えていい理由は何なんですかね?もしかしたらεだけでδを表せるかもしれないの

に。考えてはみてるんですがなかなか納得のいく答えが見つかりません。よかった

ら力になってください。よろいくお願いします。

Aベストアンサー

ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の問題(ε-δの応用問題は大体そうです)
を考える時は命題を論理式で書いておくと証明すべきことが見やすくなります。
まず「関数f(x)が区間[a,b)で連続である」を論理式で書くと
∀ε>0 ∀α∈[a,b) ∃δ>0  ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)
でしたね。つまりこの場合δはεとαの両方に依存しても構わない。
一方「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続である」を論理式で書くと
∀ε>0 ∃δ>0 ∀α∈[a,b) ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)……(1)
となります。変数δとαに関する記述の位置が入れ替わっていることに注意して下さい。
この場合δはεだけに依存します。
そして「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続でない」という命題はこれの否定命題ですから
∃ε>0 ∀δ>0 ∃α∈[a,b) ∃x(|x - α| < δ かつ |f(x) - f(α)| ≧ ε)……(2)
となります。(論理式の変形規則についてはご存知でしょうね)

つまり「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことを証明するためには,具体的なεと任意のδをとってきてそのε,δの組に
対して(2)式の括弧内の条件を満たすようなα,xがとれることを示せば良いのです。
これを示しましょう。

ε=1/2とし,任意のδを1つ固定し, α≧ 1/(2δ) とします。
x= α+(δ/2) とするとxは(1)式の前提条件
|x - α| < δ を満たします。しかし
|f(x) - f(α)|= |x^2 - α^2| = | (α+(δ/2))^2 - α^2 |= | αδ + δ^2/4 |≧ 1/2 =ε
ですから一様連続でないことがいえました。          ■

証明が間違っているにも関わらず先生が○をくれた理由は推測するしかありませんが
(1)一応「一様連続でない」という結論はあっているので、
証明も正しいものと勘違いした
(2)実は先生もわかってない(まさかね^^;)
(3)一応「一様連続でない」という結論はあっていることと
証明を読んで(間違いではあるものの)一様連続性についても
一応は理解しているものと判断して○にした。

というところが考えられますが本当のところ先生に聞いてみた方が良いでしょうね。

ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の...続きを読む

Q収束するから有界??

数列Anが収束するので、lim(n→∞)An=0
より、{An}は有界であるとあったのですが、どうしてそうなるのでしょうか?また{An}が有界だとどうして{An+1}も有界なのでしょうか?教えてください。

Aベストアンサー

>A_nはいくらでも小さくできる

|A_n -A|はいくらでも小さくできる
と訂正してください。
ついでに、
>An}が有界だとどうして{An+1}も有界なのか
ですが、これは明らかでしょう。このことは小学校1年生にもわかる論理だと思いますが。{An}の上界をkとすると、{An+1}の上界はk+1になりますね。このことはこれ以上説明の余地がありません。

Q統計学(データ分析)を活かせる仕事

率直にいって統計学(データ分析)を活かせる仕事って何かあるでしょうか。よく「品質管理やマーケティングの分野で役立つことがある」みたいなことを聞きますが、具体的にどの程度のものか分かりません。

就職までまだ2年間の猶予がありますが就職関連のwebサイトを見ていると、統計学(データ分析)を活かせるような仕事は研究職(特に生物や医療関係)しかないような感じです。

研究職以外でデータ分析を使われているような仕事というか業種などを教えていただけたらありがたいです。

Aベストアンサー

大学で統計の勉強をされているという事でしょうか。

統計は様々な分野で活かされていますよ。
業種も様々なので、この分野です!というのは難しいですね。。。

統計学を学んだ私の仲間が就職しているのはこんな業界です↓

・大手ゲーム会社の商品企画(マーケティング)
・大手たばこ製造会社の品質管理(品質管理)

就職サイトで「品質管理・マーケティング・商品企画」等のキーワードで検索してみて下さい。
そのキーワードでヒットする会社は、統計学を活かせる職業だと思います。

因みに私もマーケティング会社へ勤めていますが、統計の知識が必要です。

Q陰関数の定理がわかりません

陰関数の定理について、
証明はまだ習わないで、定理だけいきなり出てきたのですが、
読んだだけではいまいち意味がつかめませんでした。
この定理が何をいおうとしているかわかり易く
説明していただけないでしょうか?
(漠然とした質問で申し訳ありません)
___________________________________
 陰関数の定理:
f(x, y) をR2 におけるC1 級関数とし,
点(a, b) において
f(a, b) = 0; fy(a, b) ≠ 0とする.
このときa を含むある小さな開区間I をとれば
I の上で定義されたC1 級関数
y = φ(x) で次の条件を満たすものがただ1つ存在する:
b = φ(a),
f(x, φ(x)) = 0 (x は 閉区間I内),
さらに
φ’(x) = -{fx(x, φ(x))}/{fy(x, φ(x)}
が成立する.
___________________________________

Aベストアンサー

とりあえず,もうちょっと偏微分や関数の勉強を
頑張ってください.
何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります.

>f(x,y)=0はそもそもxy平面上でのことで、3次元ではないのに、
>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか?
>fy(a, b)は3次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

これは次のように表現を変えてみましょう

f(x)=0はそもそも数直線上でのことで、2次元ではないのに、
どうやって“f'(a)”を考えることができるのでしょうか?
f'(a)は2次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

おっしゃってることが「おかしい」ことがお分かりになりますか?

f(x,y)というのは,R^2上の関数fの点(x,y)での値です.
したがって,z=f(x,y) と考えれば,これは
確かにR^3での「グラフ」になります.
これは y=f(x) が平面のグラフになることと同じです

翻って,f(x,y)=0 というのは,
R^2の点(x,y)でf(x,y)=0となる点(の集合)のことです.
これは f(x)=0 の場合は「解」に相当しますが,
f(x,y)=0も「解」(の集合)とみなせばいよいだけです.

また,偏微分f_y(x,y)も単に点(x,y)での値に過ぎませんので
3次元とか考えずに計算できます.

陰関数の定理というのは,
陰関数f(x,y)=0を,y=φ(x)という形で表現できる
ということを(特定の条件下で)保証する定理で
実際は,いろいろな理論の根底で使われます.

とりあえず,もうちょっと偏微分や関数の勉強を
頑張ってください.
何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります.

>f(x,y)=0はそもそもxy平面上でのことで、3次元ではないのに、
>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか?
>fy(a, b)は3次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

これは次のように表現を変えてみましょう

f(x)=0はそもそも数直線上でのことで、2次元ではないのに、
どうやって“f'(a)”を考えることができるのでしょうか?
f'(a)は2次元的に...続きを読む

Qε-δ論法で、「収束しない」を証明することについて

ε-δ論法で、「収束しない」を証明することについて

「収束する」ことを証明するのは、ε-δの条件に当てはまるようなあるδ>0が存在することを証明する、ってことだったんですが
(ここまでで間違ってたらすみません)

「収束しない」を証明するには「収束する」を否定するのだから

例えば、x→aのときf(x)がAに収束しないを示すのは

∃ε>0、∀δ>0、0<|x-a|<δ,∃x⇒|f(x)-A|<ε

を満たせばよい、というのは分かるのですが、結局これは何を示せばよいのですか・・・?
εが存在することですか?xが存在することですか?

それとも何か別の・・・?

Aベストアンサー

>> 例えば、x^2が、x→0のとき「→1でない」ことを証明したいの?
> はい。そんな感じです。

それは単に「収束しない」ではなくて「Aには収束しない(他の値には収束するかもしれない)」を証明するってことですから、あるε>0が存在して、δ>0をどんなに小さくしても、f(x)がAのε-近傍に属さないようなxがaのδ-近傍から発見できるということだと思います。そのようなεが存在すればよいと思います。


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング