体積を微分すると表面積になる立体の条件（大学の知識で）

大学の数学科を卒業した者です。

高校時代、半径ｒの球の体積をｒで微分すると、表面積になることは数IIで習いました

そして、その次に一辺がｒの立方体の体積をｒで微分すると、表面積にはならないことも習いました。

そして今、一般の立体で体積を微分すると表面積になる立体の条件を考えています。立体をいくつかの場合に分けてみました。

(1)正多面体の場合・・・一辺をｒとするのではなく、ある長さをｒととることで、体積をｒで微分すると表面積になることは発見しました。
例えば立方体では一辺を２ｒとすれば、成り立つ。

(2)回転体の場合・・・Ｃ１級関数ｙ＝ｆ（ｘ）（ａ≦ｘ≦ｂ）をｘ軸まわりに回転させてできる曲面積は
２π（｜ｙ｜√（１＋ｙ＾２）のａ～ｂの積分）
だったので、これが回転体の体積をｘで微分したものと一致すればよいのですが、条件が求まりません。（問題１）

(3)回転体でない立体の場合・・・何で微分するのかすら分からないので見当がつきません。（問題２）

ただ、いろいろな立体で試している中で、共通して見えてきたのは、「滑らかな曲面である」と言うことです。
例えば半径ｒ、高さが定数の円柱は成り立たないのですが、両サイドに半径ｒの半球をそれぞれくっつけた立体では成り立ちました。
ただこの滑らかさはどれくらい必要か。Ｃ１でいいのかさらに必要か。（問題３）

一応、専攻外ですが解析幾何の授業も受けてておりましたので、この条件や参考文献をご存知の方、ぜひ宜しくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： tgb 回答日時： 2008/06/29 10:29

　問題の趣旨としては体積V、表面積Sが１変数ｔで定まるような場合(V=V(t)、S=S(t))を想定していると思いますが、どのような立体に対してｄV/dt=Sとなるかと言うことなら適当に条件を付ければ(1)のように形状としては任意の形状の立体に対してｄV/dt=Sとなるようにできます。

ここで適当な条件というのはｔに対する立体の変形のさせ方が相似変形であるということと変形のパラメータｔをｄV/dt=Sを満たすように一定倍率で調整するということです。
　相似変形でない場合(ご質問の円柱＋球の組み合わせで円柱の高さを変えないで円柱・球の半径のみ変えるなどの場合)にはその指定の仕方によっていろいろ変わってくると思います。１例を(2)に示します。
　例(1)(2)等から考えるに、「この形状ならｄV/dt=Sとなる」と言うものではなく、形状と変形のさせ方とを組み合わせて考慮する必要があるようです。形状と変形のさせ方とを組み合わせた上で、ｄV/dt=Sを満足するようにするにはあくまでｄV/dt=Sが条件であって、[形状と変形のさせ方とを組み合わせた上でｄV/dt=Sとなる条件]を気の利いた形で表現するのは難しいように思えます。

(1)任意形状の立体の例
任意形状の立体を相似変形させることを考え、変形のパラメータをtとすると
V(t)=a・t^3
S(t)=b・t^2
a、bは立体の形状によって決まる定数
とするとき、新たに
t'=(3a/b)t
を変形のパラメータとし、このt'を改めてtとすればｄV/dt=Sとできます。

(2)直方体の例
各辺の長さをa、b、cとして
a=a(t)
b=b(t)
のように変形のパラメータtに対して辺a、bを適当な(任意の)関数で変形するようにしたとき、辺cのtに対する変形の関数を調整してｄV/dt=Sとなるようにできますが、このようなcの関数はｄV/dt=SのV、Sにa、b、cを代入してできるcについての微分方程式から決定できます。

No.5 回答者： Lokapala 回答日時： 2008/08/29 10:27

投稿からかなり経っていますが、回答させていただきます。

正多面体において、体積を立体の中心（中心は、各面から等しい距離である点とする）から各面への距離で微分すると、立体の表面積になります。

直方体においては、3組の向かい合う面それぞれに対し、2つの面への距離が等しくなる点をＰとし（要はするにＰは直方体の中心です）、Ｐから面への距離をa,b,cとしてa,b,cで体積を全微分すれば表面積が出ます。

凸であるn面体の内部にある点Ｐをとり、その立体をＰと各面でできる角錐に分解して考えてみましょう。角錐はn個できます。あるひとつの角錐について考えます。この角錐の高さをhとして、底面積をSとします。この角錐の体積は1/3×h×Sとなります。このとき、Sがc×h^2で表すことができた場合、体積は1/3×c×h^3となり、これをhで微分するとc×h^2=Sとなり、底面積がでます。いま述べた条件がすべての角錐において成り立つとき、この立体の体積をｎ個のＰから各面への距離で全微分すると表面積が出ます。ただし、この条件を満たす立体がどのようなものであるかわかりませんが、ある程度の対称性を持つ立体でないと条件を満たさない気がします。というより、対称性がない物体だと、Ｐを定めるのが非常に難しい気がします。対称性のある正方形や直方体などは簡単にわかりますけど。もしかしたらＰは重心と一致するのではないかと考えましたが、結局わかりませんでした。

不完全な回答ですが、参考にしてみて下さい。

No.3 回答者： SortaNerd 回答日時： 2008/06/27 04:51

立体をxの関数f(x)で表すとします。

x=rの時の立体と、それより微小に大きいx=r+Δrの時の立体を考えて、
その2つの差で表される立体(薄皮1枚)の厚みが全面で一定値Δrであること
が条件です。

答えに自信はあるのですが説明がうまくできません。
あえて言えば積分の定義より明らかに成り立つ…ように感じます。

なお滑らかさは関係ありません。
＞半径ｒ、高さが定数の円柱
では成り立ちませんが、高さが2rなら成り立ちます。
(と書いてから不安になって計算…。おお合ってる。感動。)

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
「全面で一定値Δrであること」がどんな立体にも存在するのか。またそうなるときのパラメータのとり方は一意的なのかなど、次から次に疑問が沸いてきます。
滑らかさは、微分出来るという意味で必要ではないでしょうか？
いたるところ微分不可能な関数なんかも存在しているはずですので・・・

お礼日時：2008/06/27 22:46

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/06/26 19:24

逆に考えると「表面積を積分すると体積になる」ということですよね. こう考えると, 確かに「うまいパラメータをもってくれば」成り立つような感じもします. 要するに「粘土をぺたぺたと貼り付けていったら貼り付けた粘土の総量が体積になる」ということを言っているだけですから.

う～ん, でもなんか条件がないとまずいような気もするなぁ.... 凸じゃなくてもいいんだろうか?

この回答へのお礼

直感的には回答者様の言う通りで、薄い皮をイメージすればよいのですが、このときのパラメータの入れ方や、条件が分からないと困るので考えております。。。答えにたどり着くか分かりませんが頑張ってみます。

お礼日時：2008/06/27 22:39

No.1 回答者： higekuman 回答日時： 2008/06/25 12:27

的を射た回答ではないとは思いますが・・・

半径rの円の面積をrで微分すると、円周の長さになります。

面積と周の長さが、微分積分の関係にあるという点では、体積と表面積の関係に似ています。

まずは、体積と表面積ではなく、次元を一つ下げて、面積と周の長さで考えてから、その結果を一つ上の次元である体積と表面積の関係に応用したほうが、結果的に近道かもしれません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。確かに次元を落とすのは良いアイディアですね。やってみます。

今日、大学の先生に聞いてみたところ微分可能な立体では「体積を微分すると表面積になる」というのは、本質的には間違っていないらしいです。
一変数のパラメータで表せられる立体については、証明が可能だと思われるとの答えでした。

なにか、ご存知の方おられましたら宜しくお願いします。

お礼日時：2008/06/25 22:15