平方完成で極値を求める

判別式を使わずに平方完成で極致を求めるっていうのはどういうことなんでしょうか？？

No.2 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/06/27 21:25

例えば、2次関数なんかの極値（頂点）の座標を求めるのに、平方完成という操作は使われますね。

例えば y = ax^2 + bx + c という2次関数があったとき、その極値（グラフの頂点）の座標を求めるときには、
y = ax^2 + bx + c = a(x + b/(2a))^2 - (b^2 - 4ac)/4a
と変形すれば、x = -b/(2a) のとき y = -(b^2 - 4ac)/4a で、 a＞0 なら極小、a＜0 なら極大となることが分かります。
このように　a(x + b)^2 + c のような形に変形するのを平方完成と言うらしい。ただ、平方完成で極値を求めるられる関数は限られますから、一般的には極値を求めるときは微分を使って求めるのではないでしょうか。

逆に、判別式は多項式の方程式を解くときに実数解の存在を調べるために使うもので (例えば 2 次方程式 ax^2 + bx + c = 0 ならば、判別式 D = b^2 - 4ac で、D＞0 なら異なる2つの実数解が存在、D=0 なら重解、D＜0 なら実数解なし。判別式は 2 次方程式に限らず n次方程式で定義されます）、極値を求めるときに使うことは無いように思います。

No.1 回答者： tono-todo 回答日時： 2008/06/27 06:11

どういう文脈での質問か分かりませんが、極値を求める方法はいくつもあります。

判別式がオールマイティではありません。
平方完成とは昔聞いたような気もしますが、
ｙ＝（ｘ＋　　）＾２＋ａ
のような形にすることではなかったか？
ａが極値は自明です。