媒介変数表示への変換のしかた。

媒介変数表示への変換のしかたを教えていただきたいです。

具体的な問題で、

√x+√y=√a

のxとyを媒介変数表示したいです。解答を見ると、直接
x=acosθ^4
y=asinθ^4
としているのですが、その仕方が分りません。

よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2008/06/28 12:15

#1です。

補足解説です。
ご覧の問題集の解答には書いてあると思いますが、ここでの質問に含まれていないのであえて書きませんでした。
#2さんが但し書きでふれられて見えますので補足しておきます。

変換後の式の定数aと変数θの変域について、
もとの式から暗黙の条件として√の中は非負（つまり正またはゼロ）ですから
x≧0,y≧0,a≧0から
0≦x≦a,0≦y≦a…(B)となります。

このことから、変換後の式のθが変換前の「0≦x≦aを満たすx」と１：１の対応関係になるためには
a≧0,0≦θ≦π/2…(A)
という条件が必要になります。

この条件では変換後のθも変換前の「0≦x≦aを満たすx」と１：１の対応関係となります。
という事で変換後の式ではt定数a,変数θに(A)の条件が付きます。

(A)の変数θの変域（範囲）に対し、変換後のx,yの値域（とりうる範囲）が
(B)となることは言うまでもありません。

No.3 回答者： take_5 回答日時： 2008/06/27 23:20

ミスった。

＞但し、x≧0、y≧0、でa≧0、0≦θ≦π/2という条件はつく、忘れずに

　　　　　　↓

但し、a≧0という条件はつく。

No.2 回答者： take_5 回答日時： 2008/06/27 23:16

√x＝Ｘ＾2、√y＝Ｙ＾2、√a＝Ａ＾2とすると、Ｘ＾2＋Ｙ＾2＝Ａ＾2より、Ｘ＝Ａcosθ、Ｙ＝Ａsinθ。

x＝Ｘ＾4＝（Ａ）＾4*（cosθ）＾4＝a*cosθ^4、y＝Ｙ＾4＝（Ａ）＾4*（sinθ）＾4＝a*sinθ^4.
但し、x≧0、y≧0、でa≧0、0≦θ≦π/2という条件はつく、忘れずに。

No.1 回答者： info22 回答日時： 2008/06/27 23:12

x=

y=
の式を
√x+√y=√a
に代入してみれば分かりますが
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
の公式を利用して媒介変数表示に変換しただけです。