No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>(1)x^2-y^2=1より集合Aは内点、境界点ともに含むので、Aの補集合は開集合であり、B= ̄B
>これも理由になってないでしょうか。。
なっていません。
x^2 - y^2 = 1 だと「なぜ」内点を含むのですか?「なぜ」境界点を含むのですか?
>>これは「定義」を記載したのですか?それとも何かの「命題」ですか?
>授業で習った定義です。
通常「定義」というのは『Aが○○を満たす場合、これを開集合と言う」という風に一つの言明によって記述されます。
授業では定義をした後に、それと同値な命題として別の言明を与えていると想像されます。
A = {(x, y) ∈ R^2 | x^2 - y^2 = 1 } が閉集合であることを示すには何を「証明」する必要があるかを再度整理しましょう。
お礼が遅れてしまい申し訳ありません。
理由になってないですよね…等号だと内点、境界点を含み不等号だと内点のみ含むと思うのですが…
>通常「定義」というのは『Aが○○を満たす場合、これを開集合と言う」という風に一つの言明によって記述されます。
授業では定義をした後に、それと同値な命題として別の言明を与えていると想像されます。
そうなのですか…定義と命題の違いが分かっていませんでした。ご指摘有り難うございます。
>A = {(x, y) ∈ R^2 | x^2 - y^2 = 1 } が閉集合であることを示すには何を「証明」する必要があるかを再度整理しましょう。
理解力が乏しい私に丁寧に有り難うございます。調子が悪いので月曜考えてみます。。
No.4
- 回答日時:
証明はともかく「直観」で
それぞれが閉なのか開なのか分かりますか?
そして,その直観の根拠が,証明レベルでなくて構わないから
表現できませんか?
(1)(2)(3)ともに,図示できませんか?
絵が書ければ,答えそのものは
ひとまず証明抜きではありますが,容易に分かります
あと初学者に多い思い込みとしては
「閉でも開でもない集合」「閉でも開でもある集合」
という集合が「存在しない」というものがあります.
両方とも「任意の位相空間で」きっちり存在します.
証明そのものは,すでにご指摘があるとおり.
「何が定義」「何が定理」なのかを明確にして
それに当てはめるだけです.
このあたりの超初歩のところは色々流儀があって
同じことでも何通りもの表現があります.
ひとまずは習った流儀に従いましょう.
回答有り難うございます。お礼が遅れてしまい申し訳ないです(-_-)
(1)(2)は図示できるので開か閉かは予想出来ます…(3)はちょっとグラフが書けないのですが…
証明は…習ったやり方がよく分からなくて…理解力が乏しいですが、明日出来る所までやってみます。。有り難うございます。
No.2
- 回答日時:
>何か説得力に欠ける気がするのですが…
その通りです。
>(1)A((1)の集合)の補集合は開集合である。
>集合Aは内点、境界点を含むのでB= ̄B
お気付きのように、結論に至る理由が一切述べられていません。
>集合Aが開集合である⇔∀a∈AがAの内点である⇔A=A゜(内点の集合)
>集合Bが閉集合である⇔B(上にcをつける)が開集合である⇔B= ̄B(触点の集合=閉包)
>なのは分かるのですが
これは「定義」を記載したのですか?それとも何かの「命題」ですか?
>結論に至る理由が一切述べられていません。
仰る通りです。。
(1)x^2-y^2=1より集合Aは内点、境界点ともに含むので、Aの補集合は開集合であり、B= ̄B
これも理由になってないでしょうか。。
>これは「定義」を記載したのですか?それとも何かの「命題」ですか?
授業で習った定義です。
No.1
- 回答日時:
>どう証明すれば良いか分かりません。
開集合、閉集合の定義に従いましょう。
連続回答有り難うございます。
>開集合、閉集合の定義に従いましょう。
集合Aが開集合である⇔∀a∈AがAの内点である
⇔A=A゜(内点の集合)
集合Bが閉集合である⇔B(上にcをつける)が開集合である
⇔B= ̄B(触点の集合=閉包)
なのは分かるのですが
(1)A((1)の集合)の補集合は開集合である。
集合Aは内点、境界点を含むのでB= ̄B
よって閉集合である。
(2)∀a∈A((2)の集合)がAの内点であるとする。
集合Aは内点のみからなるのでA=A゜
よって開集合である。
これで合ってるでしょうか。何か説得力に欠ける気がするのですが…
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