出産前後の痔にはご注意!

あるゲームのことで気になったので、
シミュレートしたり考えたりしてみたのですが・・・

20種類のカードがランダムに出現します。
同じカードは何枚でも出てきます。
そのカードをすべて受け取って、20種類全部揃うのは、
何枚受け取った時点でどのくらいの確率になるのか?

という問題です。

プログラムを作ってシミュレートしてみると、
おおよそ68枚目で50%、105枚目で90%・・・という結果が出たのですが・・・

数式で考えると、さっぱりわかりません。
20枚目で全種類揃う確率は、
20/20 × 19/20 × 18/20 × ・・・・ = 20!/(20^20)
というくらいは、なんとかわかった(と思う)のですが・・・

21枚目以降で全種類揃う確率は、どういう数式になるでしょうか?

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A 回答 (1件)

クーポンコレクター問題



n種類のクーポンをx枚買ったときはじめてn種類そろってコンプリートになる確率は、

n!S(x-1,n-1)/n^x

ただし、S(x-1,n-1)は第二種スターリング数
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Q100枚のカードをコンプする確率

1枚100円のカードを集めるとします。
そのカードは全部で100種類あり、購入時にその種類は指定出来ず、ランダムでの入手となります。

100種類のカードが等確率で出現(1/100)するものとするとき、100種類のカードを全て集める為に必要な金額の期待値はどうなりますでしょうか。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんは。

これは、「クーポン・コレクター問題」と呼ばれるものです。
過去にたくさんQ&Aがありますので、まずはご覧ください。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4145590.html

http://oshiete.goo.ne.jp/search_goo/?status=select&MT=%A5%AF%A1%BC%A5%DD%A5%F3%A5%B3%A5%EC%A5%AF%A5%BF%A1%BC&nsMT=&ct_select=0&ct0=&ct1=&ct2=

ご参考になりましたら。

Q25種類のカードの揃う確率

25種類の中からランダムに1枚入ってるお菓子のおまけカードがあります。(入ってるカードは当たりにくいカードとかあるかもしれませんが同じ確率とします)
この25種類のカードをを80パーセント以上の確率で全部揃うには
何個以上買ったらいいですか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

x個購入したという条件のもとで、y種類そろっている確率をP(y|x)と表記することにします。

P(y|x) = P(y|x-1)*y/25 + P(y-1|x-1)*(25-(y-1))/25
初期値は、P(1|1)=1, P(y|1)=0(y≠1)。
また便宜的に(実質的にも)P(0|x)=0。

求めるのは、P(25|x)≧0.8となる最小のxと読みました。

漸化式を解くのをExcelさんにお任せして、117個以上となりました。

ちなみに、揃うまで購入するときの平均購入数は、25*(1/1+1/2+…+1/25)=95.4個です。96個以内で全種類揃う確率は59%程度です。まぁこんなもんかなぁという感じ。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=287408


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