すいませんが、先ず次の図形を書いてみてください。(めんどいかもしれませんが)
四角形を書きます。左上の角から、反時計回りにそれぞれの角をA,B,C,Dとします。そして、対角線の交点をOとします。次にそれぞれの角の角度を言います。∠ABO=50°、∠OBC=30°、∠OCB=40°、∠OCD=30°、
∠ODC=80°、∠OAB=60°、次にOを囲む角が、∠AOB=∠COD=
70°、∠AOD=∠BOC=110°,以上の角がわかっていて、求めるのは
∠OAD=x°、∠ODA=y°のxとyです。他にわかっていることはありません。長さも表示されていません。どこかの中学校か高校の入試問題だそうです。
どうしても答えが出ないので、皆さんよろしくお願いします。教えてください。

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A 回答 (8件)

私もmoon00さんの図で考えましたが,


一辺と対角が等しいだけではまだ合同とは言えないので
yuyaerさんは悩んでいるのだと思います.
そこで何とか合同を示そうとしたのですが,
気が付くと図形が鉛筆でぐちゃぐちゃに(笑).

そこで一応その線は諦めて……
いやあ,いい年して死ぬほど考えました.
かなり汚ない解き方かもしれませんが,これでどうでしょうか.
xが求まればyは簡単なので,xに集中します.
「同一円周上」あたりが分からないかもしれないので,
遠慮無く質問を補足してくださいね.

まず,∠ACBの40度を,
AC側に30度,BC側に10度に分けるような
直線を引きます.
次に,∠BDCの80度を,
BD側に20度,CD側に60度に分けるような
直線を引きます.
この新しい2つの直線の交点をPとし,PDとCAの交点をQとします.
実際にはPは三角形OBCの内部に来ると思います.
すると∠PDC=60度,
∠PCD=∠PCQ+∠QCD=30度+30度=60度
となります(というより,そうなるように補助線を引いた).
したがって三角形DPCは正三角形であり,
∠PCDを二等分している直線CAは,
Qにおいて線分PDを垂直に二等分します.
いま,PとAを結ぶと,三角形APQと三角形ADQは
(AQ共通,PQ=DQ,∠AQP=∠AQD=直角により)
合同ですから,xを求めるには∠PAQを求めれば良いことになります.

この辺で,いったん流れを整理してください.まだ半分です.

さて,今∠CPD=60度,∠CBD=30度ですから,
∠CPD=2∠CBDとなり,
三点B,C,DはPを中心とする円周上にあります.
(中心角=2×円周角であり,
もしBが円の内側にあれば角CBDは30度より大きいはずであり,
外側にあれば30度より小さいはずなので).

したがってPB=PC=半径から∠PBC(=∠PCB)=10度となり,
∠DBP=∠DBC-∠PBC=30度-10度=20度となります.
さらにPB=PD=半径から∠PDB(=∠PBD)=20度です.

さらに,PとOを結びます.また,線分BPのPの端を少し延長してその端をRとします.
∠DPRは二等辺三角形PDBの∠Pの外角であり,40度です.
一方,小さい三角形OPQとODQは先ほどと同様に合同ですから,
∠OPQ(=∠ODQ)=20度となり,
その結果∠OPR(=∠OPQ+∠QPR=20度+40度)=60度となります.
すると,∠BAO=∠OPR(=60度)となるので,
四点A,B,P,Oは同一円周上にあることが言えます.
ゆえに∠PAO(=∠PBO)=20度となり,
これが求めるxと等しいことは前半に述べました.

おーい...寝ないでくださ~い(笑)
せっかくなのできちんと理解して欲しいですから,
分からないところは何なりと追加質問してください.

しかし角度の問題でこんなに難しいのは初めて見ました.
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この回答へのお礼

いやーほんとに長いですね。でもちゃんと答えが出ました。文句無しです。本当にお手数かけました。他の回答してくださった方のは、途中でいきずまってしまうんですがどうでしょうか。もしよければ、また御回答ください。ほんと---------------------にありがとうございました。

お礼日時:2001/02/18 19:02

補足です。


(5)で∠APCを出すには、四角形ABCPの内角の=360、もしくは
△APCの内角の和を用いています。
それと(6)の合同条件は私のミスでした。すいません。

解答方法は考えたのですが、このスレッドもあまりにも長くなっているし、
書くとかなり長くなるので、すいませんが止めておきます。
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いやはや、最初の私のでは完全には三角形DOA(三角形ABOは間違いです)と三角形QOCは相似であることはいえませんでした。

なんかおかしな気がしてみてみると回答いっぱい・・・
もういいのかな??^^;
・・・というのは回答者として無責任ですので
ではあらためて(P、Qは私の定義で)・・・

重要なのは、三角形DQCが二等辺三角形(DQ=DC;∠QDC=80、∠DQC=∠DCQ=50)であることです。

ここでAQとDCは平行でした(したがって、∠QDC=∠DQA=80、∠QAC=∠ACD=30です)。これより、三角形AQOと三角形DCOは合同であることになります(AQ=DC)。したがって、三角形DOAと三角形QOCは合同となり、答えが得られますね。
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図形の作図


1、点AからBCに平行な線をひく。
2、辺CDを延長する。この時、1で書いた線に交わる点をPとする。
3、辺BDを延長する。この時、1で書いた線に交わる点をQとする。
4、辺BAを延長する。この時、2で書いた線に交わる点をSとする。
5、辺ADを延長する。この時、延長した点をD'とする。
ここから、解答。
∠APR=∠BCD=40+30=70なので、∠APD=180-70=110
四角形AODPの内角の和を考えると3∠OAP=360-(110+110+100)=40
三角形ABQの内角の和を考えると∠AQB=180-(50+100)=30
ここで、三角形ACDと三角形AQDについて考える。
この2枚の三角形の合わさった形(紙飛行機型)を考える。
この図形の性質(うる覚えですが)から∠CAD=∠QAD=20=X
よって、三角形AODから、Y=50
もし違っていたらごめんなさい。
ちなみに、三角形の相似の条件は
1、3組の辺の比が等しい
2、2組の辺の比が等しく、その間の角が等しい
3、2組の角がそれぞれ等しい
の3つです。
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moon00さんの図形を使わせてもらうと、直線CDPの延長線上にQを取ると∠APQは同位角の関係から∠APQ=∠BCD=40+30=70ですから、∠APC=180-70=110。


同様に同位角を考えると∠PAB=100ですから、∠OAP=100-60=40となります。後は三角形が合同であることを使って…
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正確に図形を書いて測ってみると、Xは20度,Yは50度になりました。


ですが、それを堂やって解くんだといわれると、どう考えても中学生の知識だけじゃ出来ません。(本当は出来るのかもしれませんが)
お役に立てなくてすみません。
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この回答へのお礼

確かに僕も図形を書いてやって、測ってみるとそういう答えになりました。
問題は、出し方なんですよね。挑戦してくださってありがとうございました。

お礼日時:2001/02/17 22:17

答えはx=20、y=50 です。



作図と計算で求めるには
(1)設問に従って四角形を描く
(2)辺BCに平行な線を点Aから引く。
(3)辺CDを延長して(2)の線と交わらせる。交点をPとする
(4)APとBCは平行なのでそこから∠PABが確定し、
   ∠PAOも確定。
(5)同様に∠APCも確定
(6)ここで△ADPと△ADOが合同(斜辺とその対角が同じ)
(7)(6)によりxとyが求められる。

文字だけでは説明は難しいですね。
分かっていただけるかな。
但し、この解答法が一番正しいという自信はありません。
おそらく他にもやり方があると思います。

この回答への補足

実際におっしゃられる様にやってみましたが、(5)からつまずいています。
∠APCってどうやって出すんでしょうか?また(6)も、どうして合同ってわかるんでしょうか?
お手数ですが、説明していただければ幸いです。

補足日時:2001/02/17 22:18
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∠BACを2等分する線を辺BCへと書き、その交点をPとする。

線APとDCは平行ですね。線APと交線BDの交点をQとします。さらにQからCへと線を引くと、∠OCQ=20°,∠OQC=50°となりますね。
一方、三角形AQOと三角形DCOは相似です。従って、三角形ABOと三角形QOCは相似です。これより、x=20°、y=50°となります。
・・・あってるかな?

この回答への補足

∠OCQ=20°、∠OQC=50°ってどうやってだすんですか?
また、どうしても△ABOと△QOCは相似にはならないと思うのですが?
説明していただけると幸いです。

補足日時:2001/02/17 22:25
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Q図形の問題(円)

下記の図形の面積って求まりますか。

正方形ABCDの各頂点を中心に、、正方形の中側に4分の1の円(扇形)を書きます。
そうすると、正方形の中に、丸まった四角形のような形ができると思います。
この図形の面積です。

求まるとしたら、
・小学生でも解けますか?(小学生の範囲でという意味です)
・中学生でも解けますか?
・積分しないと解けないですか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こっちの方ですよね?
http://tokumath.com/situmon/kyuseki1.html
「正方形 扇形 問題」で見つけました。

解答は「解答を見る」をクリックしてください。
中学生なら理解可能な範囲の式しか使っていないように思います。

と言っても簡単ではありません。
私も何度も目にしている問題ですが、解答方法を覚えていませんでした。

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Q図形の赤い円の中心座標は計算で回答を得られますか?

添付した図形の赤い円の中心座標を求めたいのですが

計算で回答を得る事は可能なのでしょうか

大きな円の中心を(0,0)とすれば
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直径10の緑の円と、直径24の円の交点は、
(x-15)^2 + y^2 = 5^2
x^2 + y^2 = 12^2
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(11.47, 3.54)

この交点と同心円の中心Oのなす角をθとすると、
cosθ = 11.47 / 12
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(行列式は書きにくいですが…)

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| y' | = | +sinθ +cosθ | | +sinθ +cosθ | | 00.0 |

= 15 * cosθ^2-sinθ^2 + 0
= 15 * 2cosθsinθ + 0

= 15 * (11.47^2/12^2 - 03.54^2/12^2)
= 15 * (2 * 11.47/12 * 03.54/12)

= 12.40
= 08.46

とか。

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Q数学の図形の証明がわかりません。 「図のように円Oに直線AB,ACが接している。AB=ACを示せ」

数学の図形の証明がわかりません。
「図のように円Oに直線AB,ACが接している。AB=ACを示せ」
という問題なのですが、どのように証明するのかさっぱりわかりません・・
解説お願いします。

Aベストアンサー

△ABOと△ACOにおいて
  AO=AO(∵共通)
  BO=CO(∵円Oの半径)
∠ABO=∠ACO=90°(∵円の接線と接点を通る半径のなす角)
よって
△ABO≡△ACO(∵直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい)
ゆえに

Q上低 AD=2、下底 BC=3、AB=1,∠B=60°の台形ABCD

上低 AD=2、下底 BC=3、AB=1,∠B=60°の台形ABCDがある。BC→の向きの単位ベクトルをu→、BA→の向きの単位ベクトルをv→とするとき
(1)BD→、CD→をu→、v→で表せ
(2)BD→、CD→のなす角をαとしてSinαを求めよ。
(3)また、AD,CDの中点をそれぞれM.Nとするとき、BD→・MN→を求めよ。

→回答
(1)はとけました。 こたえはーu→+v→です。
(2)もとけました。
(3)がとけませんでした。

(3)の回答を教科書で確認したら、
BD・MN=(v→+2u→)・(3/2×U→ー1/2 ×v→)と式が出来てました。

BDは(1)BA+ADを求めると、(図をかいてみると解りました)v→+2u→となるのがわかったのですけど、MNがどうして(3/2)U -(1/2)vとなるのか解りませんでした。どなたか教えてください。
宜しくお願いします!!>_<

Aベストアンサー

MN→=BN→-BM→・・・(1)です。
MはADを1:1に内分するから、分点のベクトルの公式で
BM→=(BA→+BD→)/2・・・(2)
同様に、NはCDを1:1に内分するから、
BN→=(BC→+BD→)/2・・・(3)
(2),(3)を(1)に代入すると、
MN→=(BC→+BD→)/2-(BA→+BD→)/2
   =(BC→)/2-(BA→)/2
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Q三角形の図形に円を

図形の勉強をはじめるときによく見かけると思うのですが、任意の長さの正三角形の中に、下段に3個・中段に2個・上段に1個の同じ直径の円が描いてあります。下段・中段・上段いづれの円も正三角形の両辺に接線しています。この合計6個の円の描き方が全く分からないのですが、どのようにに考えれば良いのでしょうか。何方か詳しい方アドバイスをお願いします。

Aベストアンサー

辺の長さは測れない、ということですか?
辺の長さがわかれば、円の半径は(正三角形の1辺)/(4+2√3)になるので、各辺からその長さだけ離して各辺に対する平行線を3本引いて小さな正三角形DEFを作れば、D,E,F,DEの中点,EFの中点,FDの中点が6つの円の中心になります。が、√3を含んでいるため、若干誤差がでます。

長さを測らないでするのであれば、
(説明のため、正三角形をABCとし、Aが上、Bが左下
 Cが右下にあるとします。また、AB,BC,CAの
  中点をP,Q,Rとします。)
1.AQ,BR,CPを引く
2.例えば、BQを√3:2に分けるために
  Bから斜め右下に正三角形の1辺よりやや長めの
  直線BSを引きます。
3.Bにコンパスの針をおいて、BQの長さ分をBS上
  上にとって、その点をTとします。
  さらに、Bから1で引いた3直線の交点までの長さ
  をコンパスではかりとって、Tからその長さ分を
  BS上にとりその点をUとします。
 (BS上にはB→T→Uのように点が並びました)
4.UとQを結び、それに平行で点Tを通る直線を引き
  BCとの交点をVとします。
5.VQの半分の長さが円の半径になります。この長さ
  はVQの垂直二等分線によって求められます。
6.VQの半分の長さだけ各辺から離れているような
  各辺に対する平行線を引いて、正三角形を作る。
7.その正三角形の各頂点、および各辺の中点を中心と
  して、半径VQの半分の円をかく。

これでたぶんできるかと思いますが・・

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長さを測らないでするのであれば、
(説明のため、正三角形をABCとし、Aが上、Bが左下
 Cが右下にあるとします。また、AB,BC,CAの
  中点をP,Q,Rとします。)
1....続きを読む

Q曲面z=f(x,y)=x^2+y^3上の(x,y)=(1,-1)に対応

曲面z=f(x,y)=x^2+y^3上の(x,y)=(1,-1)に対応する点における接平面の式として正しいものを、次の[1]~[4]の中から一つ選べ。
[1]z = 2x - 3y + 1
[2]z = 2x + 3y + 3
[3]z = 2x + 3y + 1
[4]z = 2x + 3y

…という問題だとしたら、答えはなんでしょうか?(実は問題に少し意図的な仕掛けがしてあります)

自分で途中までやってみますと
f(1,-1)
= 1^2 +(-1)^3
= 1 - 1
= 0

f_x = 2x
f_y = 3y

f_x(1,-1) = 2
f_y(1,-1) = -3

ここまでは合っていますよね?
接平面の方程式は
z = f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0) + f(x_0,y_0)
ですよね?
では、お願いします。

Aベストアンサー

>ここまでは合っていますよね?
間違っています。

誤:f_y=3y
正:f_y=3y^2

誤:f_y(1,-1) = -3
正:f_y(1,-1) = 3

>接平面の方程式は
>z = f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0) + f(x_0,y_0)
>ですよね?
この公式は合っています。

正しい答えは
>[3]z = 2x + 3y + 1
です。

QWord2003の表のセルに図形描画で円を描く

Word2003の表のセルに図形描画で円を描くと、中央ぞろえしていた文字が上ぞろえになってしまう。
プロパティは中央ぞろえのまま。
1列目がうまく中央ぞろえのままでできても、2列めはうまくいかない。
  こんな風にしたいのに
 _____________
     
 あ○あ    aaa○ああ     
 ____________

 こんな風になる
 _________________________
        aaa ああ
  い○い    ○       
________________________

 たぶんオートシェープのプロパティを変えたらいいと思うけれど、よくわからない。
いままで、Windows98 Word98ではごく普通にできてたので、困っています。

Aベストアンサー

こんにちは。
これはたぶんWord2000から起ってるのだと思います。
1度、表の外(上か下)で円を描いて
その円の上で右クリック
レイアウトタブの中の詳細設定というボタンを
クリックします。
その中のと「アンカーを段落に固定する」というところの
チェックボックスにチェックを入れてください。
それから表の中に円をもっていけば大丈夫だと思います。

Q次の図において、角BAC=75°、角BCA=67°、Oは三角形ABCの

次の図において、角BAC=75°、角BCA=67°、Oは三角形ABCの外心です。

x,yの大きさの求め方を教えてください。

初歩的な問題ですが、解き方が思い出せないのでご協力お願いします。

Aベストアンサー

Oは外心なので、OA、OB、OCの長さは同じです。
ということは三角形OAB、OBC、OACは全て二等辺三角形です。

ということで角OAC=角OCA=zと置くと、
x+z=75
y+z=67
だから
x+y=142-2z
で、三角形の内角の和は180度だから、
x+y=180-75-67=38
2z=104
z=52
したがって、
x=75-Z=23
y=67-z=15


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