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すいませんが、先ず次の図形を書いてみてください。(めんどいかもしれませんが)
四角形を書きます。左上の角から、反時計回りにそれぞれの角をA,B,C,Dとします。そして、対角線の交点をOとします。次にそれぞれの角の角度を言います。∠ABO=50°、∠OBC=30°、∠OCB=40°、∠OCD=30°、
∠ODC=80°、∠OAB=60°、次にOを囲む角が、∠AOB=∠COD=
70°、∠AOD=∠BOC=110°,以上の角がわかっていて、求めるのは
∠OAD=x°、∠ODA=y°のxとyです。他にわかっていることはありません。長さも表示されていません。どこかの中学校か高校の入試問題だそうです。
どうしても答えが出ないので、皆さんよろしくお願いします。教えてください。

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A 回答 (8件)

補足です。


(5)で∠APCを出すには、四角形ABCPの内角の=360、もしくは
△APCの内角の和を用いています。
それと(6)の合同条件は私のミスでした。すいません。

解答方法は考えたのですが、このスレッドもあまりにも長くなっているし、
書くとかなり長くなるので、すいませんが止めておきます。
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いやはや、最初の私のでは完全には三角形DOA(三角形ABOは間違いです)と三角形QOCは相似であることはいえませんでした。

なんかおかしな気がしてみてみると回答いっぱい・・・
もういいのかな??^^;
・・・というのは回答者として無責任ですので
ではあらためて(P、Qは私の定義で)・・・

重要なのは、三角形DQCが二等辺三角形(DQ=DC;∠QDC=80、∠DQC=∠DCQ=50)であることです。

ここでAQとDCは平行でした(したがって、∠QDC=∠DQA=80、∠QAC=∠ACD=30です)。これより、三角形AQOと三角形DCOは合同であることになります(AQ=DC)。したがって、三角形DOAと三角形QOCは合同となり、答えが得られますね。
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図形の作図


1、点AからBCに平行な線をひく。
2、辺CDを延長する。この時、1で書いた線に交わる点をPとする。
3、辺BDを延長する。この時、1で書いた線に交わる点をQとする。
4、辺BAを延長する。この時、2で書いた線に交わる点をSとする。
5、辺ADを延長する。この時、延長した点をD'とする。
ここから、解答。
∠APR=∠BCD=40+30=70なので、∠APD=180-70=110
四角形AODPの内角の和を考えると3∠OAP=360-(110+110+100)=40
三角形ABQの内角の和を考えると∠AQB=180-(50+100)=30
ここで、三角形ACDと三角形AQDについて考える。
この2枚の三角形の合わさった形(紙飛行機型)を考える。
この図形の性質(うる覚えですが)から∠CAD=∠QAD=20=X
よって、三角形AODから、Y=50
もし違っていたらごめんなさい。
ちなみに、三角形の相似の条件は
1、3組の辺の比が等しい
2、2組の辺の比が等しく、その間の角が等しい
3、2組の角がそれぞれ等しい
の3つです。
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私もmoon00さんの図で考えましたが,


一辺と対角が等しいだけではまだ合同とは言えないので
yuyaerさんは悩んでいるのだと思います.
そこで何とか合同を示そうとしたのですが,
気が付くと図形が鉛筆でぐちゃぐちゃに(笑).

そこで一応その線は諦めて……
いやあ,いい年して死ぬほど考えました.
かなり汚ない解き方かもしれませんが,これでどうでしょうか.
xが求まればyは簡単なので,xに集中します.
「同一円周上」あたりが分からないかもしれないので,
遠慮無く質問を補足してくださいね.

まず,∠ACBの40度を,
AC側に30度,BC側に10度に分けるような
直線を引きます.
次に,∠BDCの80度を,
BD側に20度,CD側に60度に分けるような
直線を引きます.
この新しい2つの直線の交点をPとし,PDとCAの交点をQとします.
実際にはPは三角形OBCの内部に来ると思います.
すると∠PDC=60度,
∠PCD=∠PCQ+∠QCD=30度+30度=60度
となります(というより,そうなるように補助線を引いた).
したがって三角形DPCは正三角形であり,
∠PCDを二等分している直線CAは,
Qにおいて線分PDを垂直に二等分します.
いま,PとAを結ぶと,三角形APQと三角形ADQは
(AQ共通,PQ=DQ,∠AQP=∠AQD=直角により)
合同ですから,xを求めるには∠PAQを求めれば良いことになります.

この辺で,いったん流れを整理してください.まだ半分です.

さて,今∠CPD=60度,∠CBD=30度ですから,
∠CPD=2∠CBDとなり,
三点B,C,DはPを中心とする円周上にあります.
(中心角=2×円周角であり,
もしBが円の内側にあれば角CBDは30度より大きいはずであり,
外側にあれば30度より小さいはずなので).

したがってPB=PC=半径から∠PBC(=∠PCB)=10度となり,
∠DBP=∠DBC-∠PBC=30度-10度=20度となります.
さらにPB=PD=半径から∠PDB(=∠PBD)=20度です.

さらに,PとOを結びます.また,線分BPのPの端を少し延長してその端をRとします.
∠DPRは二等辺三角形PDBの∠Pの外角であり,40度です.
一方,小さい三角形OPQとODQは先ほどと同様に合同ですから,
∠OPQ(=∠ODQ)=20度となり,
その結果∠OPR(=∠OPQ+∠QPR=20度+40度)=60度となります.
すると,∠BAO=∠OPR(=60度)となるので,
四点A,B,P,Oは同一円周上にあることが言えます.
ゆえに∠PAO(=∠PBO)=20度となり,
これが求めるxと等しいことは前半に述べました.

おーい...寝ないでくださ~い(笑)
せっかくなのできちんと理解して欲しいですから,
分からないところは何なりと追加質問してください.

しかし角度の問題でこんなに難しいのは初めて見ました.
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この回答へのお礼

いやーほんとに長いですね。でもちゃんと答えが出ました。文句無しです。本当にお手数かけました。他の回答してくださった方のは、途中でいきずまってしまうんですがどうでしょうか。もしよければ、また御回答ください。ほんと---------------------にありがとうございました。

お礼日時:2001/02/18 19:02

moon00さんの図形を使わせてもらうと、直線CDPの延長線上にQを取ると∠APQは同位角の関係から∠APQ=∠BCD=40+30=70ですから、∠APC=180-70=110。


同様に同位角を考えると∠PAB=100ですから、∠OAP=100-60=40となります。後は三角形が合同であることを使って…
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正確に図形を書いて測ってみると、Xは20度,Yは50度になりました。


ですが、それを堂やって解くんだといわれると、どう考えても中学生の知識だけじゃ出来ません。(本当は出来るのかもしれませんが)
お役に立てなくてすみません。
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この回答へのお礼

確かに僕も図形を書いてやって、測ってみるとそういう答えになりました。
問題は、出し方なんですよね。挑戦してくださってありがとうございました。

お礼日時:2001/02/17 22:17

答えはx=20、y=50 です。



作図と計算で求めるには
(1)設問に従って四角形を描く
(2)辺BCに平行な線を点Aから引く。
(3)辺CDを延長して(2)の線と交わらせる。交点をPとする
(4)APとBCは平行なのでそこから∠PABが確定し、
   ∠PAOも確定。
(5)同様に∠APCも確定
(6)ここで△ADPと△ADOが合同(斜辺とその対角が同じ)
(7)(6)によりxとyが求められる。

文字だけでは説明は難しいですね。
分かっていただけるかな。
但し、この解答法が一番正しいという自信はありません。
おそらく他にもやり方があると思います。

この回答への補足

実際におっしゃられる様にやってみましたが、(5)からつまずいています。
∠APCってどうやって出すんでしょうか?また(6)も、どうして合同ってわかるんでしょうか?
お手数ですが、説明していただければ幸いです。

補足日時:2001/02/17 22:18
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∠BACを2等分する線を辺BCへと書き、その交点をPとする。

線APとDCは平行ですね。線APと交線BDの交点をQとします。さらにQからCへと線を引くと、∠OCQ=20°,∠OQC=50°となりますね。
一方、三角形AQOと三角形DCOは相似です。従って、三角形ABOと三角形QOCは相似です。これより、x=20°、y=50°となります。
・・・あってるかな?

この回答への補足

∠OCQ=20°、∠OQC=50°ってどうやってだすんですか?
また、どうしても△ABOと△QOCは相似にはならないと思うのですが?
説明していただけると幸いです。

補足日時:2001/02/17 22:25
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