すいませんが、先ず次の図形を書いてみてください。(めんどいかもしれませんが)
四角形を書きます。左上の角から、反時計回りにそれぞれの角をA,B,C,Dとします。そして、対角線の交点をOとします。次にそれぞれの角の角度を言います。∠ABO=50°、∠OBC=30°、∠OCB=40°、∠OCD=30°、
∠ODC=80°、∠OAB=60°、次にOを囲む角が、∠AOB=∠COD=
70°、∠AOD=∠BOC=110°,以上の角がわかっていて、求めるのは
∠OAD=x°、∠ODA=y°のxとyです。他にわかっていることはありません。長さも表示されていません。どこかの中学校か高校の入試問題だそうです。
どうしても答えが出ないので、皆さんよろしくお願いします。教えてください。

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A 回答 (8件)

私もmoon00さんの図で考えましたが,


一辺と対角が等しいだけではまだ合同とは言えないので
yuyaerさんは悩んでいるのだと思います.
そこで何とか合同を示そうとしたのですが,
気が付くと図形が鉛筆でぐちゃぐちゃに(笑).

そこで一応その線は諦めて……
いやあ,いい年して死ぬほど考えました.
かなり汚ない解き方かもしれませんが,これでどうでしょうか.
xが求まればyは簡単なので,xに集中します.
「同一円周上」あたりが分からないかもしれないので,
遠慮無く質問を補足してくださいね.

まず,∠ACBの40度を,
AC側に30度,BC側に10度に分けるような
直線を引きます.
次に,∠BDCの80度を,
BD側に20度,CD側に60度に分けるような
直線を引きます.
この新しい2つの直線の交点をPとし,PDとCAの交点をQとします.
実際にはPは三角形OBCの内部に来ると思います.
すると∠PDC=60度,
∠PCD=∠PCQ+∠QCD=30度+30度=60度
となります(というより,そうなるように補助線を引いた).
したがって三角形DPCは正三角形であり,
∠PCDを二等分している直線CAは,
Qにおいて線分PDを垂直に二等分します.
いま,PとAを結ぶと,三角形APQと三角形ADQは
(AQ共通,PQ=DQ,∠AQP=∠AQD=直角により)
合同ですから,xを求めるには∠PAQを求めれば良いことになります.

この辺で,いったん流れを整理してください.まだ半分です.

さて,今∠CPD=60度,∠CBD=30度ですから,
∠CPD=2∠CBDとなり,
三点B,C,DはPを中心とする円周上にあります.
(中心角=2×円周角であり,
もしBが円の内側にあれば角CBDは30度より大きいはずであり,
外側にあれば30度より小さいはずなので).

したがってPB=PC=半径から∠PBC(=∠PCB)=10度となり,
∠DBP=∠DBC-∠PBC=30度-10度=20度となります.
さらにPB=PD=半径から∠PDB(=∠PBD)=20度です.

さらに,PとOを結びます.また,線分BPのPの端を少し延長してその端をRとします.
∠DPRは二等辺三角形PDBの∠Pの外角であり,40度です.
一方,小さい三角形OPQとODQは先ほどと同様に合同ですから,
∠OPQ(=∠ODQ)=20度となり,
その結果∠OPR(=∠OPQ+∠QPR=20度+40度)=60度となります.
すると,∠BAO=∠OPR(=60度)となるので,
四点A,B,P,Oは同一円周上にあることが言えます.
ゆえに∠PAO(=∠PBO)=20度となり,
これが求めるxと等しいことは前半に述べました.

おーい...寝ないでくださ~い(笑)
せっかくなのできちんと理解して欲しいですから,
分からないところは何なりと追加質問してください.

しかし角度の問題でこんなに難しいのは初めて見ました.
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この回答へのお礼

いやーほんとに長いですね。でもちゃんと答えが出ました。文句無しです。本当にお手数かけました。他の回答してくださった方のは、途中でいきずまってしまうんですがどうでしょうか。もしよければ、また御回答ください。ほんと---------------------にありがとうございました。

お礼日時:2001/02/18 19:02

補足です。


(5)で∠APCを出すには、四角形ABCPの内角の=360、もしくは
△APCの内角の和を用いています。
それと(6)の合同条件は私のミスでした。すいません。

解答方法は考えたのですが、このスレッドもあまりにも長くなっているし、
書くとかなり長くなるので、すいませんが止めておきます。
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いやはや、最初の私のでは完全には三角形DOA(三角形ABOは間違いです)と三角形QOCは相似であることはいえませんでした。

なんかおかしな気がしてみてみると回答いっぱい・・・
もういいのかな??^^;
・・・というのは回答者として無責任ですので
ではあらためて(P、Qは私の定義で)・・・

重要なのは、三角形DQCが二等辺三角形(DQ=DC;∠QDC=80、∠DQC=∠DCQ=50)であることです。

ここでAQとDCは平行でした(したがって、∠QDC=∠DQA=80、∠QAC=∠ACD=30です)。これより、三角形AQOと三角形DCOは合同であることになります(AQ=DC)。したがって、三角形DOAと三角形QOCは合同となり、答えが得られますね。
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図形の作図


1、点AからBCに平行な線をひく。
2、辺CDを延長する。この時、1で書いた線に交わる点をPとする。
3、辺BDを延長する。この時、1で書いた線に交わる点をQとする。
4、辺BAを延長する。この時、2で書いた線に交わる点をSとする。
5、辺ADを延長する。この時、延長した点をD'とする。
ここから、解答。
∠APR=∠BCD=40+30=70なので、∠APD=180-70=110
四角形AODPの内角の和を考えると3∠OAP=360-(110+110+100)=40
三角形ABQの内角の和を考えると∠AQB=180-(50+100)=30
ここで、三角形ACDと三角形AQDについて考える。
この2枚の三角形の合わさった形(紙飛行機型)を考える。
この図形の性質(うる覚えですが)から∠CAD=∠QAD=20=X
よって、三角形AODから、Y=50
もし違っていたらごめんなさい。
ちなみに、三角形の相似の条件は
1、3組の辺の比が等しい
2、2組の辺の比が等しく、その間の角が等しい
3、2組の角がそれぞれ等しい
の3つです。
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moon00さんの図形を使わせてもらうと、直線CDPの延長線上にQを取ると∠APQは同位角の関係から∠APQ=∠BCD=40+30=70ですから、∠APC=180-70=110。


同様に同位角を考えると∠PAB=100ですから、∠OAP=100-60=40となります。後は三角形が合同であることを使って…
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正確に図形を書いて測ってみると、Xは20度,Yは50度になりました。


ですが、それを堂やって解くんだといわれると、どう考えても中学生の知識だけじゃ出来ません。(本当は出来るのかもしれませんが)
お役に立てなくてすみません。
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この回答へのお礼

確かに僕も図形を書いてやって、測ってみるとそういう答えになりました。
問題は、出し方なんですよね。挑戦してくださってありがとうございました。

お礼日時:2001/02/17 22:17

答えはx=20、y=50 です。



作図と計算で求めるには
(1)設問に従って四角形を描く
(2)辺BCに平行な線を点Aから引く。
(3)辺CDを延長して(2)の線と交わらせる。交点をPとする
(4)APとBCは平行なのでそこから∠PABが確定し、
   ∠PAOも確定。
(5)同様に∠APCも確定
(6)ここで△ADPと△ADOが合同(斜辺とその対角が同じ)
(7)(6)によりxとyが求められる。

文字だけでは説明は難しいですね。
分かっていただけるかな。
但し、この解答法が一番正しいという自信はありません。
おそらく他にもやり方があると思います。

この回答への補足

実際におっしゃられる様にやってみましたが、(5)からつまずいています。
∠APCってどうやって出すんでしょうか?また(6)も、どうして合同ってわかるんでしょうか?
お手数ですが、説明していただければ幸いです。

補足日時:2001/02/17 22:18
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∠BACを2等分する線を辺BCへと書き、その交点をPとする。

線APとDCは平行ですね。線APと交線BDの交点をQとします。さらにQからCへと線を引くと、∠OCQ=20°,∠OQC=50°となりますね。
一方、三角形AQOと三角形DCOは相似です。従って、三角形ABOと三角形QOCは相似です。これより、x=20°、y=50°となります。
・・・あってるかな?

この回答への補足

∠OCQ=20°、∠OQC=50°ってどうやってだすんですか?
また、どうしても△ABOと△QOCは相似にはならないと思うのですが?
説明していただけると幸いです。

補足日時:2001/02/17 22:25
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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

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http://tokumath.com/situmon/kyuseki1.html
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> 例えば、大きな四角の図形を貼り付けます。
> その大きな四角の図形の中に小さな図形を貼り付けます。
> それから、小さな図形を選択しようとしても、どうしても大きな図形が選択されてしまいます。
> 小さな図形を選択するにはどうしたらいいのでしょうか?

お使いのPowerPointのバージョンが書かれていませんが、2007~2013ですと、
「ホーム」タブの「編集」にある「選択」をクリックして「オブジェクトの選択」をクリックして、
選択したい図形を囲むようにドラッグすると、ドラッグした範囲内にある図形などのオブジェクトはすべて選択されます。
(PPTの場合は、「オブジェクトの選択」は、既定でオンになっています。)

選択されたオブジェクトの中に選択から外したいものがある場合は、「Shit」キーを押しながらクリックします。

『大きな四角の図形の中に小さな図形』がある場合は、小さな図形を囲むようにドラッグします。
(注意して操作すれば、小さな図形だけを選択することはそんなに難しくありません。)

「図形の複数選択(オブジェクトの選択ボタン編)」
http://www.becoolusers.com/office/object-select-button.html

> 例えば、大きな四角の図形を貼り付けます。
> その大きな四角の図形の中に小さな図形を貼り付けます。
> それから、小さな図形を選択しようとしても、どうしても大きな図形が選択されてしまいます。
> 小さな図形を選択するにはどうしたらいいのでしょうか?

お使いのPowerPointのバージョンが書かれていませんが、2007~2013ですと、
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つまり二等辺三角形は「三角形」を元に定義されていて
長方形は「四角形」を元に定義されていますよね
正三角形や、台形、平行四辺形、ひし形、正方形等も万事このぐあいで
「三角形」と「四角形」という言葉を使って定義されています

「柱体」 「錐体」 「四面体」 等にも特に説明が与えられていません



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そもそもきちんと定義されているのですか?
それとも無定義の用語なのでしょうか?

Aベストアンサー

いずれもきちんと定義されています。
数学的に厳密な定義を知らなくても、当たり前のものとして意味が分かるから説明を省略しているのでしょう。

以下ご参考まで。
三角形:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2
四角形:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E8%A7%92%E5%BD%A2
柱体:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9F%B1%E4%BD%93
錐体:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%8C%90%E4%BD%93
四面体=三角錐:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93


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