平均時速

初めて質問させていただきます。
平均時速についてです。
Ａ地点とＢ地点があります。
行きはＡ～Ｂまでを時速４キロで移動
帰りはＢ～Ａまでを時速６キロで移動いたしました。
行きと帰りの平均時速は何キロですか？

ちなみに５キロではないそうです。
恐れ入りますが数学は得意ではありません。
わかりやすい回答お待ち申し上げております。
どうか、よろしくお願い申し上げます。

No.4 回答者： Ishiwara 回答日時： 2008/07/09 09:24

「平均」という言葉には、必ず「重み」が必要なのです。

「学級Ａと学級Ｂの平均身長」という場合、ふつうは、暗黙の了解として「人数」を重みとしますから、（身長総計）/（人数総計）となります。

しかし、「学級」を重みとするならば、それぞれの学級の人数に関係なく（「学級Ａの平均」と「学級Ｂの平均」）の単純平均となります。めったにないことですが、Ａは男子クラス、Ｂは女子クラスで、たまたまこの学校は男女比が偏っているが、それでも全国平均と比較してみたい、という場合には、このような処理が必要になります。

「平均速度」の場合も、ふつうは暗黙の了解として「時間」を重みとしますから、（各行程の距離の合計）/（総時間）で求めます（答は４.８キロ/時）。

しかし、場合によっては「行程」を重みとする平均が必要な場合もあります。この場合は、（各行程の平均速度の合計）/（行程の数）になります（答は５キロ/時）。

ですから、どうしても誤解を避けたいと思えば、出題者が「何を重みとするのか」を示すべきです。

No.3 回答者： Quattro99 回答日時： 2008/07/06 11:22

実際の計算はすでに回答のあるとおりです。

単純に速度を平均したものではないことは、極端な例を考えるとわかります。行きを時速100kmで移動した場合、単純に速度を平均すればよいとすると帰りがどれだけ遅くても平均速度は時速50km以上になることになり、かかる時間には上限があることになってしまい、明らかにおかしいとわかります。

同じ距離を違う速度で移動した場合の平均速度は遅い方に引っ張られます（単純に速度を平均したものより遅くなる）。
行きを時速aキロメートル、帰りを時速bキロメートルとし、計算しやすいように片道abキロメートルを往復した場合を考えます。行きにかかる時間はb時間、帰りにかかる時間はa時間となります。
従って、本当の平均速度は時速2ab/(a+b)キロメートルとなります。これと、単純に速度を平均した時速(a+b)/2キロメートルとを比較してみます。後者から前者を引くと、{(a+b)/2}-{2ab/(a+b)}={(a+b)^2-4ab}/{2(a+b)}=(a-b)^2/{2(a+b)}となり、速度に差があれば（a=bでなければ）必ず正の値になることがわかります。つまり、前者は後者よりも遅いということです。

No.2 回答者： BookerL 回答日時： 2008/07/05 22:37

　運動の途中で速さが変わるとき、「平均の速さ」は全体の距離を全体にかかった時間で割ってやります。

　この問題の場合、ＡＢ間の距離が示してありませんが、計算しやすいように、１２キロメートルであったとしましょう。
　行きは時速４キロメートルなので、かかった時間は ３時間。
　帰りは時速６キロメートルなので、かかった時間は ２時間。
　全体の距離は １２キロメートルの往復で ２４キロメートル、全体でかかった時間は ３時間＋２時間で ５時間。
　平均時速は ２４÷５ で 時速４.８キロメートル となります。

　ここで仮にＡＢ間を１２キロメートルとして計算しましたが、実際は何キロメートルであっても同じです。#1 の方の計算のように ｘキロメートルとして計算すれば確認できます。

　なお、時速４キロメートルと時速６キロメートルの平均なのに、結果が 時速５キロメートルにならないのは、時速４キロメートルで運動している時間の方が長いので、平均すると、４と６の中間より４に近くなります。

No.1 回答者： okg00 回答日時： 2008/07/05 22:04

片道の距離をxとすれば、

行きに掛かった時間x/4
帰りに掛かった時間がx/6なので
所要時間は
x/4+x/6=5x/12

往復の距離は2xなので所要時間で割って
24/5=4.8